第5章选择
1．假定两种商品是完全替代品，商品2的需求函数是什么？
答：假设完全替代的效用函数是：，（为了简化计算，这里只考虑替代比例为1∶1的情况）在预算约束下，消费者选择效用最大化，即：
由约束条件，解得，同时由于，则，即：。

将的表达式以及约束条件代入效用函数后，得到：
从而解得：
如图5－1所示。

图5－1 完全替代商品的需求曲线
2．假设无差异曲线是一条斜率为的直线，并且给定任意的价格和收入，那么，消费者的最优选择是什么？
答：如图5－2所示，比较预算线与无差异曲线的斜率可知，当时，消费者的最优选择为只购买商品2；当时，消费者的最优选择为只购买商品1；当时，任意购买都是消费者的最优选择。

图5－2 完全替代偏好的最优选择
3．假定一个消费者在每一杯咖啡里总是加2汤匙糖。

如果每汤匙糖的价格为，每杯咖啡的价格为，消费者花费美元在咖啡和糖上。

那么，他或她将打算购买多少咖啡和糖？
答：设表示糖，表示咖啡，消费者的效用函数为：，那么消费者的最优选择总是满足：，将这一条件代入预算线方程中，可以得到、。

4．假定消费者对冰淇淋和橄榄有很高的非凸性偏好，而他所面临的价格为，并有美元可供支出。

那么他的最优消费束是什么？
答：消费者的最优消费束为（0，）或者为（，0）。

这是因为：在非凹性偏好的情况下，消费者对于端点消费束的偏好甚于对平均消费束的偏好，因此这种情况下，消费者的最优选择为只消费两种商品中的一种商品，即最优消费束为（0，）或者为（，0）。

5．如果一个消费者的效用函数为，那么，他在商品2上的花费占他收入的比例是多少？
解：消费者会把4/5的收入花费在商品2上。

分析如下：这是一个典型的柯布－道格拉斯效用函数，对其进行单调变换，可得。

关于柯布－道格拉斯效用函数有一个特殊性质，即消费者在每种商品上的花费总是占他收入的一个固定份额，这个份额的大小由效用函数中的指数来决定。

证明过程如下：在预算约束下，消费者最大化其效用：
由拉格朗日乘数法有：
从而得到一阶条件为：
则
所以消费者会把（）的收入花费在商品2上。

在本题中，消费者会将的收入花费
在商品2上。

6．在哪一种类型的偏好下，无论课征从量税还是课征所得税，消费者的境况会一样好？
答：当消费者的偏好为互补型时，无论课征从量税还是课征所得税，消费者的境况会一样好。

如图5－3所示，在征税后，无论在哪种税收条件下，消费者的最优选择都不变，所以两种税收条件下，消费者的境况一样好。

图5－3 对互补型偏好征税。