必修第一册第三章函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；
②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。
（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
3．常用的函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];
（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示(a,b);
（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a,b)或(a,b];
a,b都叫做区间的端点。
（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点）
（5）
3.2 函数的基本性质
⊆: 1．单调性：（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D I
①∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。
②∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们成它是减函数。
（2）如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
（3）判断函数单调性的方法步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
2．最大（小）值：
（1）最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于∀x ∈I，都有f(x)≤M；②∃x0∈I，使得f(x0) = M。
那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
（2）最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于∀x ∈I，都有f(x)≥M；②∃x0∈I，使得f(x0) = M。
那么，称M是函数y=f(x)的最小值。
（3）求最值的方法：①利用函数单调性；②利用不等式或基本不等式；③函数图像等。
3.奇偶性：
（1）定义：①一般地，设函数f(x)定义域内为I，如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；
②一般地，设函数f(x)定义域内为I，如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(－x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；
③如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，
则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ② 确定f (－x )与f (x )的关系； ③ 得出结论：
（3）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；
3.3 幂函数
1．幂函数：一般地，αx y =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
x y =
2
x y =
3
x y =
2
1x y = 1-=x y
定义域 R R
R ),0[+∞ {x|x ≠0} 值域 R ),0[+∞
R ),0[+∞
{y|y ≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函
数 奇函数 单调性 增函数
先减再增
增函数 增函数
原点左右都为减
公共点 （1，1） 图象 都不过的第4象限。