解析
因为函数
f(x)＝x
1 2
在(0，＋∞)上是增函数，又
0<a<b<1b<1a，故选
C.
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a>1，由 g(x)的图象知 0<a<1，矛盾，故 B 不符合；在 C 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 a>1，
矛盾，故 C 不符合；在 D 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 0<a<1，相符．
(2)因为
y＝x
2 3
在第一象限内是增函数，所以
a＝21
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1 幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数． 2 五种幂函数图象的比较
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1
3．已知 f(x)＝x 2 ，若 0<a<b<1，则下列各式中正确的是( )
A．f(a)<f(b)<fa1<fb1 B．f1a<fb1<f(b)<f(a)
C．f(a)<f(b)<fb1<f1a
D．fa1<f(a)<fb1<f(b)
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已知 x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋a2>0 恒成立，则实数 a 的取值范围是(
)
A．(0,2)
B．(2，＋∞)
C．(0，＋∞) [错解]
D.－23，2
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1．思维辨析
1
(1)函数 y＝2x 2 是幂函数．( × ) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (3)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数．( × ) (4)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的增函数．( × ) (5)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．( × )
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[正解] 二次函数图象开口向上，对称轴为 x＝a2，又 x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋a2>0 恒成立，即 f(x) 最小值>0.
①当a2≤－1，即 a≤－2 时，f(－1)＝1＋a＋a2>0，解得 a>－23，与 a≤－2 矛盾； ②当a2≥1，即 a≥2 时，f(1)＝1－a＋a2>0，解得 a<2，与 a≥2 矛盾； ③当－1<a2<1，即－2<a<2 时，f2a＝14a2－12a2＋a2>0，解得 0<a<2.综上得实数 a 的取值范围是(0,2)．
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[考法综述] 考查幂函数的概念、图象及性质，以及利用幂函数性质求参数范围，有时会结合指数、 对数比较大小，难度不大．
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命题法 幂函数的图象及性质的应用 典例 (1)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的图象可能是( )
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学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理 3 幂函数的性质比较
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学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理 注意点 α 的大小对幂函数图象的影响
幂函数在第一象限的图象中，以直线 x＝1 为分界，当 0<x<1 时，α 越大，图象越低(即图象越靠近 x 轴， 可记为“指大图低”)；当 x>1 时，α 越大，图象越高(即图象离 x 轴越远，不包含 y＝x0).
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2．当 x∈(1，＋∞)时，下列函数中图象全在直线 y＝x 下方的增函数是( )
1
A．y＝x 2
B．y＝x2
C．y＝x3
D．y＝x－1
解析 y＝x2，y＝x3 在 x∈(1，＋∞)时，图象不在直线 y＝x 下方，排除 B、C，而 y＝x－1 是(－∞，0)， (0，＋∞念及其基本性质
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第4讲 二次函数与幂函数
2 撬点·基础点 重难点
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考点二 幂函数
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2 3
>b＝51
2 3
，因为
y＝21x 是减函数，所以
a＝21
2 3
<c＝21
1 3
，所以
b<a<c.
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【解题法】 幂函数的图象与性质问题的解题策略 (1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等． (2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数， 借助其单调性进行比较或应用．
(2)若
a＝21
2 3
，b＝51
2 3
，c＝21
1 3
，则
a，b，c
的大小关系是(
)
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
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[解析] (1)因为 a>0，所以 f(x)＝xa 在(0，＋∞)上为增函数，故 A 不符合；在 B 中，由 f(x)的图象知