a11a 22 a12 a 21
a 13 a 33
行列式的值是取自不同行、不同 列的n个元素的乘积的代数和。
三阶行列式
a 23 a11a 22 a 33 a12 a 23a 31 a13a 21a 32
a11a 23a 32 a12a 21a 33 a13a 22a 31
a 11
a 12

a 1n
a p1 kaq1 a p 2 kaq 2 a pn kaqn a q1 a n1 a q2 a n2 a qn a nn
矩阵相关知识简介
一、行列式
（二）行列式的性质 （7）若行列式中某一行（列）的每一个元素都是两数之和，则行列式可 以写成两个行列式之和，这两个行列式分别以这两数中之一为对应元素， 其余位置元素与原行列式相同。
（32个元素依次排成3行、3列）
矩阵相关知识简介
一、行列式
（一）概念 n阶行列式
（n2个元素依次 排成n行、n列）
由1,2,…,n组成的一个有 序组称为一个n阶排列。
a11 a 21
a 12 a1n a 22 a 2 n (1)
在一个n阶排列中，如果一个 大数排在一个小数之前，则 称这两个数组成一个逆序。
D a1jA1j a 2 jA2 j a njAnj ( j 1,2,, n)
在n阶行列式中，把元素ai j所在的第i行和第j列划去后， 留下来的n-1阶行列式叫做元素ai j的余子式，记做Mi j 。
记Ai j = (-1)i+j Mi j Ai j叫做元素ai j的代数余子式。
a11 k a p1 a n1
a12 a1n
a11
a12 a1n kap 2 kapn a n 2 a nn
a p 2 a pn kap1 a n 2 a nn
a11 a p1 kap1 a n1
a 12 a1n a p 2 a pn
N ( j1 j2 jn )
D
a1 j1 a 2 j2 a njn
a n1 a n 2 a nn （1）每一项的形状为 a1 j a 2 j a nj （即取自不同行、不同列的n个元素的
乘积），这里j1 j2 … jn是1,2，…，n的一个排列。 （2）如果j1 j2 … jn是偶排列，则对应项取正号；如果是奇排列则取负号； 取正、负号的项各占一半。 （3）共有n!项，∑表示对所有的n级排列求和， N(j1 j2 … jn)为逆序数。 （一个n阶排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数，逆序数为偶数的称为 偶排列。）
利用行列式的性质可以将行列式化为下三角行列式，方便计算行列式的值。
矩阵相关知识简介
一、行列式
（三）行列式按行（列）展开
n阶行列式D等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的 代数余子式乘积之和，即
或：
D a i1Ai1 a i 2Ai 2 a in Ain
(i 1,2,, n)
a n1
0 kap 2 kapn a n 2 a nn
矩阵相关知识简介
一、行列式
（二）行列式的性质
（6）某一行 （列）加上另 一行（列）的 k倍，行列式 不变。
a 11 a p1 a q1 a n1
a 12 a 1n a p 2 a pn a q 2 a qn a n 2 a nn
a11
a12
a1n
a11 a12 a1n a p1 a p1 a p 2 a p1 a pn a pn a p1 a p 2 a pn a p1 a p1 a pn a n1 a n2 a nn a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
a12 a1n a q 2 a qn
DT称为 行列式 D的转 置行列 式。

DT
a n1 a n 2 a nn
（2）互换行列式中 两行（列）的位置 ， 行列式变号。
a 2 n a nn
a11 a 12 a1n a p1 a q1 a n1 a p 2 a pn
矩阵相关知识简介
一、行列式
（一）概念 （二）行列式的性质 （三）行列式按行（列）展开
二、矩阵
（一）概念 （二）矩阵的运算 （三）逆矩阵 （四）矩阵的秩
矩阵相关知识简介
一、行列式
（一）概念
（22个元素依次排成2行、2列） 二阶行列式
a11 a12 a 21 a 22
a11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
a 21 a 22 0 a n1 a n 2 a nn
矩阵相关知识简介
一、行列式
（二）行列式的性质 （1）行列互换， 行列式的值不变。
a 11 D a 21
a 12 a 1n a 22 a 2 n
a 11 a 12 a 1n
a11 a q1
a 21 a n1 a 22 a n 2
a q 2 a qn a p1 a p 2 a pn a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
矩阵相关知识简介
一、行列式
（二）行列式的性质
（3）用常数k乘行列 式等于用k乘行列式的 某一行（列）上的各 个元素。 （4）行列式中如果有两行 （列）的元素对应相等， 则行列式的值为零。 （5）如果行列式中有两行 （列）的对应元素成比例， 则行列式的值等于零。
1 2 n
是所有这些项的代数和。
矩阵相关知识简介
一、行列式
（一）概念
上三角行列式 等于主对角线 上元素的乘积
a11 a12 a1n 0 0 a11 a 22 a 2 n 0 a nn 0 0 a11a 22 a nn a11a 22 a nn
下三角行列式 等于主对角线 上元素的乘积