用数形结合法巧解最值问题
胡龙林
数形结合涉及两方面的问题,一是将图形性质转化成数量关系问题,二是将数量 关系问题转化成图形性质问题,都是中学数学普遍而重要的问,利用后者求函数 的最值可获得简捷解法。

现行高中数学教材解析几何中简单线性规划内容，教材重点在于图解法求解目标函数的最值,它更好地体现了数形结合的思想方法，也引发了我对数形结合这思想方法的一点思考。

数形结合不仅把抽象的问题直观 化，简化解题过程,提高学生的解题能力，而且可拓宽解题思路,提高学生思维的灵活题性和创造性。

1利用数轴上的截距解函数最值
截距是指函数与所有坐标轴交点的坐标之差, 可取正数也可取负数或0.求形如)()(x g x f y ±=的函数最值, 可以把)(),(x g x f 当作是变量, 即令)(),(x g u x f v ==, 方程0),(=v u F 一般表示一条曲线, 则y 可以当作是y u v +±=的直线在纵坐标轴上的截距, 因此截距的最值也即是函数的最值.]1[
例1 已知数y x ,满足03422=+-+x y x , 求y x +的最值.
解 令,b y x =+则.b x y +-= 因为1)2(22=+-y x 的圆心为)0,2(, 以及它到直线b x y +-=的距离为1, 所以111|
12|22=+-⨯b , 可得22±=b . 于是
,22max +=b .22min -=b
例2 求函数3424322+---+=t t t t S 的最值.
解 令⎪⎩⎪⎨⎧-+=+-=,
43,34222t t y t t x 有x y S -=又
).0,0(,1624433422222≥≥=+⇔⎪⎩⎪⎨⎧-+=+-=y x y x t
t y t t x 因此S 可看成是直线系S x y +=和椭圆16
242
2=+y x 在第一象限相交直线在轴上的截距（如图所示）, 可得
图1
.62,6min max -==S S
例3 求函数2310)(2-+-+=x x x x f 的最值.
解 设
整理可得
)0(,2)5(22≥=+-v v u . （1）
因此, 可看出方程（1）表示uov 平面上的一个半圆()如图1O 且它与x 轴在)0,25(-A 与)0,25(+B 处相交.
图2
进一步原函数可以写成
v u x f +=)(, （2）
方程（2）表示uov 平面上斜率为-1的直线系, ()x f 表示此直线系在u 轴上的截距,通过计算可得函数与半圆相切的直线在u 轴上的最大截距为7, 即7)(max =x f 而过)0,25(-A 直线在u 轴上的最小截距为,25- 即25)(min -=x f
u v =⎧⎪⎨=⎪⎩
2 利用两点间的距离公式解函数最值
两点间的距离公式分为平面和空间两种形式, 在平面内设1122(,),(,),A x y B x y 则
||AB =
在空间中, 可设111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则
||AB =
例4
求函数)y x R =∈的最小值.
解 如图所示
.
图3
由于
2565222++++-=x x x x y
=,
且y 是点(,0)x 到点(1,2),(3,4)A B -的距离之和, B 关于x 轴的对称点为(3,4)B '--, 因此
AB ==故
132max =y .
例5 求函数1725422++++-=x x x x z 的最小值，并求出此时的x 值.
解 将已知函数进行整理可得
.)40()1()10()2(2222++++-+-=x x z
上式表明z 是点)0,(x p 到点(2,1),(1,4)A B --的距离之和（如下图所示），
图4
要求其最小值，只需在x 轴上找到一点p ，使得p 到A , B 的之间距离之和达到最小即可. 通过进一步的求解, 有
34)41()12(||22min =+++==AB z .
并且, 可得直线AB 的方程
3
154+=+x y , 令0=y , 通过求解可得45=x ，因此此当4
5=x 时，.34min =z 由以上可以看出数形结合是把数学问题中的数量数关系与空间形式结 合起来的一种思维，它使逻辑思维与形象思维完美统一起来。

数形结合解题思想 新颖，方法直观，题过程简捷，可避免因对限制条件考虑不周而造成的失误，提 高学生的解题能力。

还利于数学各支的结合，深化思维，有利于学生解决问题及 创新能力的提高。