专题一：《圆周运动中的临界问题》
一.两种模型:
(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运
动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m r
v 2
，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）.
类此模型：竖直平面内的内轨道
(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；
②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力 于小球的重力；
③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 于零；
④当v >gr 时，杆对小球提供 力.
类此模型：竖直平面内的管轨道.
1、圆周运动中绳模型的应用
【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？
【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。

设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点 B 时恰好对轨道无压力。

求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。

【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：
(1)最高点水不流出的最小速率。

(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．
2、圆周运动中的杆模型的应用
【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：
(1)小球通过最高点时的最小速度；
(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？
v
R 【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）
A.小球到达最高点的速度必须大于gL
B .小球到达最高点的速度可能为0 C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力
【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。

若小球恰能在圆环轨道中完成圆周运动，则小球在通过最高点时
受到轨道给它的作用力为___________。

若小球通过圆环轨道 最高点时速度恰为gL ，则小球在通过最高点时受到轨道给
它的作用力为___________。

【训练5】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O 点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r ，图中P 、Q 两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( )
A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P 点的速度可以为零
B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P 点的速度可以为零
C.若连接体是轻质细绳时，小球在P 点受到细绳的拉力可能为零
D.若连接体是轻质细杆时，小球在P 点受到细杆的作用力为拉力，
在Q 点受到细杆的作用力为推力
二、水平面内的圆周运动临界问题
【例题3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长为L 的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物体可看作质点），物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。

⑴当v ＝
16gL 时，求绳对物体的拉力； ⑵当v ＝
32gL 时，求绳对物体的拉力。

O
L m
L m O θ。