X
( k 1)
X d
k k
x
k
1
3.1.2 数值计算迭代法的终止准则
准则1 准则2 或 准则3
f ( X k 1 ) 1
X( k 1) X k k d k 2
max xi ( k 1) xi k 3
1i n
f ( X( k 1) ) f ( Xk ) 4 k f (X )
T
在工程优化中，这种求最优步长的方法并 不实用
因为需要用到函数的精确的一、二阶导数，当有些函数 不连续或函数的一、二阶导数很难求得时，该方法无 法使用。所以一般采用直接方法求。一维搜索的直接 方法很多，在此仅介绍黄金分割法（0.618法）、二次 插值法。一维最优化方法一般分两步进行，第一步： 确定函数值最小点所在区间; 第二步求出该区间内的最 优步长因子值。
(k )
f ( Xk ) 0
或
f (X ) 0
f ( X ( k 1) f ( X k ) 5
往往采用两个准则来判别
1 f ( x ( k 1) f ( x ( k ) )
2 x ( k 1) x ( k )
f(x)在x*附近比较平坦
往往采用两个准则来判别
f1
t1 t 2 , f1 t 2 t3 , f 2
t 2t
f2 f3
f (X )
t3 t 2 t , f 3
NO
f3

f2
YES
t1 t 3
NO YES
a t1 , b t 3
a t 3 , b t1
出口
非单峰值函数
步长的取值一般不宜取得太大
第3章 迭代终止准则及一维搜索方法
本章知识要点及学习要求 1. 掌握优化设计迭代终止准则 2. 掌握多维问题转化为一维寻优问题方法
3. 基本掌握 确定搜索区间的程序原理
4. 基本掌握黄金分割法、二次插值法程序原理
优化设计问题的迭代思路及迭代终止准则
x
2
X(K-2)
X(K)
X(K-1)
X(K+1)
o
2x f ( X) 1 0 x 0 根据收敛准则1得： 2 x2 1
x2 0
二维问题化成一维问题的几何说明
最优步长可以用间接求优方法求
f (X
(k ) T 1 (k) 2 (k) T (k ) (k ) (k ) (k) (k) s ) f ( X ) f ( X ) d d H ( X ) d 2 (k ) (k ) (k )
令
T (k ) df (X( k ) ( k )d( k ) ) (k ) (k ) (k ) T (k ) (k ) f ( X ) d d H ( X ) d 0 (k ) d ( )
解得：
(k )
(k ) f ( X ) d T (k ) (k ) (k ) d H ( X ) d (k )
搜索区间的确定
外推法确定搜索区间
入口 t0 f0 0.01 , f ( X ), d ( I , J ) d
k
t1 0, t t 0 , f1
t2 t1 t , f 2
f0
f (X )
f
2

f1
YES
NO
确定搜索区间的程序原理
t t , t3 t1 , f 3
f (X)
得：
f ( (0) ) (1 2 (0) )2 (1 2 (0) )2 2(1 2 (0) )2
df ( (0) ) (0) 4( 1 2 ) 2 0 (0) d ( )
0 X 0
(1)
(0)
1 2
黄金分割法
黄金分割法原理
α1（1）=α1 α1 1 α3（1）=α3
=α3（1）-λ（α3（1）-α1（1））
α1 2=α1（1）+λ（α3（1）-α1（1））
λ=0.618的由来
能否保留缩小区间 内的三个点，只需计算一个新点， 以节约计算机的运行时间
黄金分割法前提条件
m1 1）
2 2 x1 = x 1 = 2 x 2 2 1 x 1
2
所以
X(1) X(0) (0)s(0)
代入
X
(1)
1 2 (0) 1 (0) 2 = 1 2 1 2 (0)
(1)
x
(0)
d
(0)
d(0) f ( x) x1 2x x1 2
x
(1)
1 2
(1) 将 x 代入
f ( x) 得：
f ( ) (1 2 )2
df ( ) 2(1 2 ) 2 4 (1 2 ) d
（3-2）
1 f ( x ( k 1) f ( x k )
2 x k 1 x k
f(x)在X*附近比较陡峭
一维搜索的最优化方法
例3-1 min f ( x) x2 已知极小值在区间 1 1 内，若从 x (0) 1
点出发，根据迭代公式（3-1）：
x
取
令
df ( ) 0 d
得：
4 (1 2 ) 0
将（3-3）代入（3-2）得：
1 2
（3-3）
x
因为
(1)
1 1 2 0 2
f ( x(1) ) 2x x0 0
满足准则1所以
x* x(1) 0
f ( x* )
=0
多维搜索
对于多维搜索，因为
X
( k 1)
X d
k k
k
f (X( k 1) ) min f (Xk k dk )
所以多维问题在这里转化为一维（
k 为变量）的寻优问题
例3-2
2 min f (X) x12 x2
取
X
(0)
1 1
d
(0)
f ( X) x 1 f ( X) x 2 x(0)