广东商学院试题参考答案及评分标准 2006-2007学 年 第二学 期
课程名称 大学文科数学（B 卷）课程代码 课程负责人 共2页 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- ---------
一、 填空题（每题2分⨯10=20分）
1、{|44}x x -<<
2、 2
3、 9 .
4、 5
5、 e
6、
7、 2dx
8、 2tan 3x x e ⋅ .
9、 2 .
10、 逻辑思维
二 选择题（每题2分⨯5=10分）
答案：AAACD
三、计算题（每小题6分，共24分）
1、解：令tan t x =则
由22(tan )6(1tan )5tan f x x x =-+=-
可得2()5f t t =-
即2()5f x x =-。

2、 解：原式=233lim 1222x x
→∞=- 3、 解：000
tan (1cos )tan lim lim lim(1cos )100
x x x x x x x x x →→→-==-=⨯=原式 4、解：14440lim(14)x x x e →=+= 原式
四、计算题（每小题8分，共24分）
1、 解：
43434()4(4)x x x x y x e x e x e x x e ''==+=+
2、解：对5y e xy =+两边求关于x 的导数：
y e y y x
y ''=+ 故可得y y y e x
'=-。

3、解：因为()
arcsin x '=
所以原式＝arcsin x c +。

五、应用题（每小题8分，共16分）
1、解：设剪掉的小正方形边长为x,则方盒的容积为
2(2)v x a x =-
对上式求导得到(2)(6)v a x a x '=--。

令(2)(6)0v a x a x '=--=解得12,26a a x x =
=。

显然12a x =不合题意，26
a x =为实际问题唯一驻点，即为所求解。

故剪掉得小正方形边长为26a x =，方盒此时容积为3
227
a 。

2、 解：利润函数是
)()()()(Q T Q C Q R Q L --= （1分）
aQ Q Q Q aQ Q PQ -+--=-+-=)32()420()32(
3)18(42--+-=Q a Q （3分）
)18(8)(a Q Q L -+-=' 8)(-=''Q L （5分）
令0)(='Q L ，得唯一驻点818a Q -=，又08)818(<-=-''a L 。

故8
18a Q -=是最大值点。

（7分） 令45818p a -=-，得222a P +=，故2
22a P +=时，利润最大。

（8分） 六、 证明题（6分）
证明：令32()233f x x x =+-，则()f x 在[0,1]上连续，并且
(0)30,(1)2f f =-<=>
由根的存在性定理，至少存在一点ξ使得()0f ξ'=， 即命题成立。