1．和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数一、和差倍问题（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差 ;求这两个数。

方法① ：（和－差）÷2= 较小数 ;和 -较小数 =较大数方法② ：（和+ 差）÷2=较大数 ;和- 较大数 =较小数例如：两个数的和是 15;差是 5; 求这两个数。

方法：（15-5）÷2=5 （;15+5）÷2=10 .（二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。

方法：和÷（倍数 +1）=1 倍数（较小数）1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数）或和 -1 倍数（较小数） = 几倍数（较大数）例如：两个数的和为 50;大数是小数的 4 倍 ;求这两个数。

方法： 50÷（ 4+1） =10 10×4=40（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系 ;求这两个数。

方法：差÷（倍数 -1 ）=1 倍数（较小数）1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数）或和 -倍数（较小数） =几倍数（较大数）例如：两个数的差为 80;大数是小数的 5 倍 ;求这两个数。

方法： 80÷（ 5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数2．年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的 ;②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的 ;③两个人的年龄的倍数是发生变化的 ; 两人年龄的倍数关系是变化的量 ;解答年龄问题的一般方法是：几年后年龄 =大小年龄差÷倍数差 -小年龄 ;几年前年龄 =小年龄 -大小年龄差÷倍数差．3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量 ;一般是那个“单一量”题;目一般用“照这样的速度”⋯⋯等词语来表示。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量 ;4．植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树三、植树问题（一）不封闭型（直线）植树问题1、直线两端植树：棵数 =段数 +1=全长÷株距+1 ;全长=株距×（棵数-1 ）;株距=全长÷（棵数-1 ）;2、直线一端植树：全长=株距×棵数;棵数 =全长÷株距 ;株距 =全长÷棵数 ;3 、直线两端都不植树：棵数 =段数-1= 全长÷株距 -1 ;株距=全长÷（棵数 +1 ）（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题棵数 =总距离÷棵距;总距离 =棵数×棵距;棵距 =总距离÷棵数．5．鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题;就是把假设错的那部分置换出来基本思路：①假设 ; 即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后 ; 发生了和题目条件不同的差 ;找出这个差是多少 ;③每个事物造成的差是固定的 ;从而找出出现这个差的原因 ;④再根据这两个差作适当的调整 ; 消去出现的差。

基本公式：① 把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）② 把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。

鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数 ; 求鸡、兔各多少：（总脚数 -每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数） =兔数 ;总头数 - 兔数 =鸡数。

或者是（每只兔脚数×总头数 -总脚数）÷（每只兔脚数 -每只鸡脚数） =鸡数 ; 总头数 - 鸡数 =兔数。

例如; “有鸡、兔共 36只; 它们共有脚 100只; 鸡、兔各是多少只？”解一（ 100- 2×36）÷（ 4-2 ） =14（只）36-14=22 （只）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯鸡。

解二（4×36 -100 ）÷（ 4-2 ） =22（只）⋯⋯⋯鸡 ;36-22=14 （只）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯兔。

（答略）（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数 ; 当鸡的总脚数比兔的总脚数多时; 可用公式（每只鸡脚数×总头数 -脚数之差）÷（每只鸡的脚数 +每只兔的脚数） =兔数 ; 总头数 - 兔数 =鸡数或（每只兔脚数×总头数 +鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数） =鸡数 ;总头数 - 鸡数=兔数。

（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数 ;当兔的总脚数比鸡的总脚数多时; 可用公式。

（每只鸡的脚数×总头数 +鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数） =兔数 ;总头数 - 兔数 =鸡数。

或（每只兔的脚数×总头数 - 鸡兔脚数之差）÷ （每只鸡的脚数 +每只兔的脚数） =鸡数; 总头数 - 鸡数=兔数。

（例略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法 ;可以用下面的公式：（1 只合格品得分数×产品总数 -实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数） =不合格品数。

或者是总产品数 - （每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数 +每只不合格品扣分数） =不合格品数。

例如; “灯泡厂生产灯泡的工人 ; 按得分的多少给工资。

每生产一个合格品记4 分;每生产一个不合格品不仅不记分 ;还要扣除 15分。

某工人生产了 1000只灯泡;共得 3525分;问其中有多少个灯泡不合格？”解一（4×1000-3525）÷（ 4+15）=475÷19=25（个）解二 1000- （15×1000+3525）÷（ 4+15 ）＝ 1000- 18525÷19=1000-975=25 （个）（答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题” ; 运到完好无损者每只给运费××元; 破损者不仅不给运费 ; 还需要赔成本××元⋯⋯。

它的解法显然可套用上述公式。

）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数; 求鸡兔各多少的问题） ; 可用下面的公式：〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷ 2=鸡数 ;〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和） - （两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷ 2=兔数。

例如; “有一些鸡和兔 ;共有脚 44只;若将鸡数与兔数互换 ; 则共有脚 52只。

鸡兔各是多少只？”解〔（ 52+44）÷（ 4+2） +（ 52-44 ）÷（ 4-2 ）〕÷2=20÷2=10（只）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯鸡〔（ 52+44）÷（ 4+2）-（52-44）÷（ 4-2 ）〕÷2=12÷2=6（只）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯兔（答略）鸡兔同笼 ;这是一个古老的数学问题 ;在现实生活中也是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼问题的解法 --假设法 ; 并会将这种方法应用到一些实际问题中.解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数 =（每只兔子脚数×鸡兔总数 -实际脚数）÷（每只兔子脚数 -每只鸡的脚数）兔数 =鸡兔总数 -鸡数当然 ;也可以先假设全是鸡 ;那么就有：兔数 =（实际脚数 -每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数 -每只鸡的脚数）鸡数 =鸡兔总数 -兔数6．盈亏问题基本思路：先将两种分配方案进行比较;分析由于标准的差异造成结果的变化;根据这个关系求出参加分配的总份数 ;然后根据题意求出对象的总量．按不同的方法分配物品时 ;经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈;如果物品不够就叫亏 ;这就是盈亏问题的含义．一般地 ;一批物品分给一定数量的人 ;第一种分配方法有多余的物品（盈）;第二种分配方法则不足（亏）;当两种分配方法相差 n 个物品时 ;那就有：盈数 +亏数 = 人数× n ;这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：（盈+亏）÷两次分得之差 =人数或单位数 ;（盈-盈）÷两次分得之差 =人数或单位数 ;（亏 -亏）÷两次分得之差 = 人数或单位数．解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈;盈多少？什么情况下 "亏";" 亏"多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．另外在解题后 ;应进行验算．基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。

7．牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1份”;根据两次不同的吃法 ;求出其中的总草量的差再找出造成这种差异的原因 ;即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的 ;关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：生长量 =（较长时间×长时间牛头数 -较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间） ;总草量 =较长时间×长时间牛头数 -较长时间×生长量 ;8．周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中 ;某些特征有规律循环出现。

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：确定循环周期。

闰年：一年有 366 天 ;①年份能被 4整除;② 如果年份能被 100 整除;则年份必须能被 400 整除;平年：一年有 365 天。

①年份不能被 4 整除 ; ② 如果年份能被 100 整除 ;但不能被 400 整除 ;9．平均数基本公式：① 平均数 =总数量÷总份数总数量 =平均数×总份数总份数 =总数量÷平均数②平均数 =基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：① 求出总数量以及总份数 ; 利用基本公式① 进行计算 .②基准数法：根据给出的数之间的关系 ;确定一个基准数 ; 一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数 ;以基准数为标准 ;求所有给出数与基准数的差 ;再求出所有差的和 ;再求出这些差的平均数 ;最后求这个差的平均数和基准数的和;就是所求的平均数 ; 具体关系见基本公式② 。

10．抽屉原理抽屉原则一：如果把（ n+1）个物体放在 n 个抽屉里 ;那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。