甘肃省张掖市山丹县第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末模拟考试试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =R ，{}239xA x =<≤，{}02B y y =<≤，则有A ．AB A = B ．A B B =C ．()AB ≠∅RD ．()A B =RR2．下列四个图象中（如图），属于函数图象的是（1） （2） （3） （4）A ．（1）（2）B ．（1）（3）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）3．利用二分法求方程log 3x =5–x 的近似解，可以取得一个区间 A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）4．若直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +（a –1）y +5=0垂直，则实数a 的值是 A ．23B ．1C ．12D ．25．直线x y m +=与圆22(0)x y m m +=>相切，则m =A ．12B ．2 C ．2D ．26．下列函数既是奇函数又在(0,)+∞上单调递减的是A ．4()f x x =B ．1()f x x x=+C ．2()lg(1)f x x x =+-D ．3()f x x =7．直线l ：（k +1）x –（k –1）y –2k =0恒过定点 A ．（–1，1）B ．（1，–1）C ．（–1，–1）D ．（1，1）8．如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π9．已知 1.50.1 1.30.2,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n ．其中所有正确命题的序号是 A ．①④B．②④C ．①D ．④11．函数()()111f x x x =--的最大值是A ．43 B ．34C ．45D ．5412．已知函数()()2ln1421f x x x =+-+，则()1lg 2lg 2f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于A ．–1B ．0C ．1D ．2第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()2log 1f x x =-的定义域是__________．14．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．15．设f （x 3）=ln x ，则f （e ）=__________．16．函数()122100x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，满足f （x ）>1的x 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数3,1,(),1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，（1）求((1))f f 的值；（2）求函数()f x 的值域．18．（本小题满分12分）（1）已知函数f （x ）为二次函数，且f （x –1）+f （x ）=2x 2+4，求f （x ）的解析式；（2）已知f （x ）满足()123f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求f （x ）的解析式． 19．（本小题满分12分）已知过点()1,0P ，且斜率为1-的直线l ，点13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，55,6C ⎛⎫-⎪⎝⎭，在直线l 上是否存在一点A ，使AB BC ⊥？若存在，请求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点E 为AB 1的中点，点F 为A 1D 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：AA 1⊥EF ． 21．（本小题满分12分）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有(1)(1)f x f x +=-+成立．已知当[1,2]x ∈时，()log a f x x =．（1）求[0,1]x ∈时，函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 的最大值为12，在区间[1,3]-上，解关于x 的不等式1()4f x >．22．（本小题满分12分）某家具厂生产一种办公桌，每张办公桌的成本为100元，出厂单价为160元，该厂为鼓励销售商多订购，决定一次订购量超过100张时，每超过一张，这批订购的全部办公桌出厂单价降低1元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过150张．（1）设一次订购量为x 张，办公桌的实际出厂单价为P 元，求P 关于x 的函数关系式P （x ）；（2）当一次性订购量x 为多少时，该家具厂这次销售办公桌所获得的利润f （x ）最大？其最大利润是多少元？（该家具厂出售一张办公桌的利润=实际出厂单价–成本）高一数学·参考答案13．[2，+∞） 14．3π 15．1316．x <–1或x >117．【解析】（1）因为3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以(1)3f =，所以((1))(3)3f f f ==-．（5分）（2）当1x ≤时，()3(0,3]xf x =∈，当1x >时，()(,1)f x x =-∈-∞-，所以函数()f x 的值域为(,1)(0,3]-∞-．（10分）18．【解析】（1）设f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）∴a （x –1）2+b （x –1）+c +ax 2+bx +c =2ax 2+（2b –2a ）x +a –b +2c =2x 2+4∴2222024a b a a b c =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得112a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩． ∴f （x ）=x 2+x +2．（6分）（2）()123f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 用1x替换x 得：()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 消去1f x ⎛⎫⎪⎝⎭可得()336f x x x =-， 故()()120f x x x x=-≠．（12分） 19．【解析】假设存在，设点()00,A x y ．点A 在l 上，0011y x ∴=--，即001y x =-+．①（4分） 由AB BC ⊥，得005116221353ABBCy kk x ---⋅=⋅=---， 即()0013322y x -=-．②（9分） 由①、②解得02x =，01y =-．（12分） 20．【解析】（1）连接A 1B ，BD ，∵在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点E 为AB 1的中点， ∴点E 为A 1B 的中点，∴EF ∥BD ，又EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ．（6分）（2）取AA 1的中点G ，连接GE ，GF ，∵AA 1⊥GE ，AA 1⊥GF ，且GE ∩GF =G ，∴AA 1⊥平面GEF ， 又∵EF ⊂平面GEF ，∴AA 1⊥EF ．（12分）21．【解析】（1）∵()()11f x f x +=-+，则()f x 图象关于1x =对称，∴()()()[]2log 2,0,1a f x f x x x -==-∈．故所求的表达式为()()[]log 2,0,1a f x x x =-∈．（4分） （2）∵()f x 是R 上的偶函数且()f x 图象关于1x =对称， ∴()()2f x f x +=，即函数()f x 是以2为周期，故只需考查区间[]1,1-． 若1a >时，由函数()f x 的最大值为12知()()max 10log 22a f f x ===，即4a =， 当01a <<时，则当11x x ==-或时，()f x 有最大值，即()1log 212a -=，舍去， 综上可得，4a =．（8分）当[]1,1x ∈-时，若[]1,0x ∈-，则()41log 24x +>220x <≤，若(]0,1x ∈，则()41log 24x ->，∴02x <<∴此时满足不等式的解集为2,2-．∵()f x 是以2为周期的周期函数， 当(]1,3x ∈时，()14f x >的解集为-，综上，()14f x >的解集为(2,22,4．（12分）22．【解析】（1）P （x ）1600100260100150x x x x x <≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩N N ，，，，．（4分）（2）当0<x ≤100，f （x ）=60x ， 故x =100时，f （x ）max =f （100）=6000，当100<x ≤150时，f （x ）=（160–x ）x =–x 2+160x =–（x –80）2+6400，（8分） ∴f （x ）在（100，150]上单调递减， 故f （x ）<–（100–80）2+6400=6000， 综上所述，f （x ）的最大值为6000．答：当第一次订购量为100张时，该家具厂在这次订购中所获得的利润最大， 其最大利润是6000元．（12分）。