【典型题】高一数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1.已知定义在R 上的增函数f (x ),满足f (-x )+f (x )=0,x 1,x 2,x 3∈R ,且x 1+x 2>0,x 2+x 3>0,x 3+x 1>0,则f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)的值 ( ) A .一定大于0 B .一定小于0 C .等于0D .正负都有可能2.设a b c ,,均为正数,且122log aa =,121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭,21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则( ) A .a b c <<B .c b a <<C .c a b <<D .b a c <<3.已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =,则(2)f -=( )A .4B .3C .2D .14.已知0.11.1x =, 1.10.9y =,234log 3z =,则x ,y ,z 的大小关系是( ) A .x y z >> B .y x z >>C .y z x >>D .x z y >>5.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“⊕”如下:当a b ≥时,a b a ⊕=;当a b <时,2a b b ⊕=,已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-,则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是( )A .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.已知函数2()2log x f x x =+,2()2log x g x x -=+,2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A .b a c << B .c b a << C .c a b <<D .a b c <<7.若函数()2log ,?0,?0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩,则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A .1e B .eC .21eD .2e8.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P (单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为0ktP P e -=⋅(k 为常数,0P 为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,那么要能够按规定排放废气,还需要过滤n 小时,则正整数n 的最小值为( )(参考数据:取5log 20.43=) A .8B .9C .10D .149.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =,假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等,若再过min m 甲桶中的水只有4a升,则m 的值为( )A .10B .9C .8D .510.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间(),0-∞上单调递增。
若实数a 满足()()122a f f ->-,则a 的取值范围是 ( )A .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D .13,22⎛⎫⎪⎝⎭11.偶函数()f x 满足()()2f x f x =-,且当[]1,0x ∈-时,()cos 12xf x π=-,若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .()3,5B .()2,4C .11,42⎛⎫⎪⎝⎭D .11,53⎛⎫⎪⎝⎭12.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则()UP Q ⋃=A .{1}B .{3,5}C .{1,2,4,6}D .{1,2,3,4,5}二、填空题13.已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数,则m =__________. 14.已知log log log 22a a ax yx y +-=,则x y的值为_________________. 15.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,且当0x 时,11()42x xf x =-+,则此函数的值域为__________.16.如图,矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数2logy x=,12y x =,22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为______.17.函数()()4log 521x f x x =-+-________. 18.若集合{||1|2}A x x =-<,2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,则A B =______. 19.若函数()22xxe a x ef x -=++-有且只有一个零点,则实数a =______.20.已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩,其中0a >且1a ≠,若()f x 的值域为[)3,+∞,则实数a 的取值范围是______.三、解答题21.已知函数()2log f x x =(1)解关于x 的不等式()()11f x f x +->;(2)设函数()()21xg x f kx =++,若()g x 的图象关于y 轴对称,求实数k 的值.22.已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠,(1)()2,f x f x x +-= 且(0) 1.f =(1)求函数()f x 的解析式(2)求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域;23.已知函数()x xk f x a ka -=+,(k Z ∈,0a >且1a ≠).(1)若1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求1(2)f 的值; (2)若()k f x 为定义在R 上的奇函数,且01a <<,是否存在实数λ,使得(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立若存在,请写出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.24.为保障城市蔬菜供应,某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入2万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的经验,发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x 分别满足()8f x =+1()124g x x =+.设甲大棚的投入为a ,每年两个大棚的总收入为()F a .(投入与收入的单位均为万元)(Ⅰ)求(8)F 的值.(Ⅱ)试问:如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使年总收人()F a 最大?并求最大年总收入.25.已知全集U =R ,集合{|25},{|121}M x x N x a x a =-=++. (Ⅰ)若1a =,求()R MN ;(Ⅱ)M N M ⋃=,求实数a 的取值范围.26.已知()()122x x f x a a R +-=+∈.(1)若()f x 是奇函数,求a 的值,并判断()f x 的单调性(不用证明); (2)若函数()5y f x =-在区间(0,1)上有两个不同的零点,求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2+x 1>0,得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>0,选A.点睛:利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小,首先根据函数的性质构造某个函数,然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值,最后根据单调性比较大小,要注意转化在定义域内进行2.A解析:A 【解析】试题分析:在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2log y x =,12log y x =的图象,2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ,从图象可以看出.考点:指数函数、对数函数图象和性质的应用.【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型,就要考虑用数形结合求解,在同一坐标系中画出两函数图象的交点,函数图象的交点的横坐标即为方程的解.3.D解析:D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+,则()g x 是R 上的奇函数,利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值.【详解】令3()g x ax bx =+ ,则()g x 是R 上的奇函数, 又(2)3f =,所以(2)35g +=, 所以(2)2g =,()22g -=-,所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=,故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于中档题.4.A解析:A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解:0.1x 1.1 1.11=>=, 1.100y 0.90.91<=<=,22334z log log 103=<<,x ∴,y ,z 的大小关系为x y z >>. 故选A . 【点睛】本题考查三个数的大小的比较,利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5.C解析:C 【解析】当21x -≤≤时,()1224f x x x =⋅-⨯=-; 当12x <≤时,()23224f x x x x =⋅-⨯=-;所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩,易知,()4f x x =-在[]2,1-单调递增,()34f x x =-在(]1,2单调递增,且21x -≤≤时,()max 3f x =-,12x <≤时,()min 3f x =-,则()f x 在[]22-,上单调递增, 所以()()13f m f m +≤得:21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩,解得1223m ≤≤,故选C .点睛:新定义的题关键是读懂题意,根据条件,得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩,通过单调性分析,得到()f x 在[]22-,上单调递增,解不等式()()13f m f m +≤,要符合定义域和单调性的双重要求,则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩,解得答案.6.D解析:D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+,2()2log x x g x -=+,2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-,2x y -=-,2x y -=的交点,再通过数形结合得到a ,b ,c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=,则2log 2x x =-.令12()2log 0xg x x -=-=,则2log 2x x -=-.令2()2log 10x x h x =-=,则22log 1x x =,21log 22xx x -==. 所以函数2()2log x x f x =+,2()2log x x g x -=+,2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-,2x y -=-,2x y -=的交点,如图所示,可知01a b <<<,1c >, ∴a b c <<.故选:D . 【点睛】本题主要考查函数的零点问题,考查对数函数和指数函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.A解析:A 【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式,认清自变量的范围,多重函数值的意义,从内往外求,根据自变量的范围,选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩,因为102>,所以211()log 122f ==-,又因为10-<,所以11(1)f ee--==, 即11(())2f f e=,故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题,在解题的过程中,注意自变量的取值范围,选择合适的式子,求解即可,注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.8.C解析:C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=,可得出ln 54k =,然后解不等式1200kt e -≤,解出t 的取值范围,即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意,前4个小时消除了80%的污染物,因为0ktP P e -=⋅,所以()400180%kP Pe --=,所以40.2k e -=,即4ln0.2ln5k -==-,所以ln 54k =, 则由000.5%ktP P e -=,得ln 5ln 0.0054t =-, 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=, 故正整数n 的最小值为14410-=.故选:C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用,涉及指数不等式的求解,考查运算求解能力,属于中等题.9.D解析:D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==,由55122n nae a e =⇒=,代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=,联立两个等式可得512{12mn n e e ==,由此解得5m =,应选答案D 。