第36届国际数学奥林匹克试题1．（保加利亚）设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。

若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。

试证：AM 、DN 和XY 三线共点。

证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。

须证：Q 与Q ′重合。

由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90°进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。

同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。

这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。

所以，QP= Q ′P 。

而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。

命题获证。

分析二*如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。

证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α，m 、y 0是定值。

有20.yx x x ctg y x C A c =⋅-=但α，则.02αtg y m x A -=因此，AM 的方程为).(02ααtg y m x ctg y ⋅+=令02,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。

2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。

试证：.23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a，有.0=++γβα于是，)(4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c abca cb abc c b a abc +++++=112111121111211)()()(------------+++++++++++=ba b a c c b c b c b γαβα211121112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a.6132)111(23=⋅≥++≥abcc b a ∴原不等式成立。

背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。

什么是增量代换法？——由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。

运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。

题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。

求证：.3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+（第6届IMO 试题）证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则+++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222)])((3)()(z y x y x x z y x y x +++-++-+))((3)()()()()2(222z y x y x x z x z y x z x y x z y x x +++--++++++++= .0)2(3222≤++++-=xyz z yz xz xy ∴原不等式成立。

同时，安振平老师用二元代换法给出第25届IMO 试题的证明。

什么是二元代换法？——若.,,2t a y t a x a y x -=+==+则可设运用这种方法来论证问题，我们称为二元代换法。

题 2 已知.1,,,=++z y x z y x 且都是非负实数求证：.27720≤-++≤xyz zx yz xy （第25届IMO 试题）证明 不妨设,.32,31,1.0从而易得由≥+≤=++≥≥≥y x z z y x z y x .322xy xy xyz ≤≤.02≥-++∴xyz xy zx yz另一方面，令则).310(31,32≤≤-=+=+t t z t y x )21()(z xy y x z -++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t t xy t t 231231323123132312.277)21(2772≤--=t c t 还有，安振平老师用对称代换法给出了第24届IMO 试题的证明。

什么是对称代换法？——任意三个正实数c b a ,,构成某一三角形三边的充要条件是存在着三个正实数.,,,,,y x c x z b z y a z y x +=+=+=使得用这种方法来处理问题，我们称为对称代换法。

题3 设c b a ,,是三角形的边长，求证：.0)()()(222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a（第24届IMO 问题）证明 设).,,(,,+=+=+=+=R z y x y x c x z b z y a 是原不等式等价于))(()(2x y x z z y -++ ))(()(2y z y x x z -+++ 0))(()(2≥-+++z x z y y x0)(333≥++-++⇔z y x xyz zx yy xy .0)()()(222≥-+-+-⇔x z yz z y xy y x xz ∴原不等式成立。

分析二*此题初看起来，左边为反序和，得不出“≥”的结果，但我们可先从条件abc=1入手将原式变形。

证法二：记左边为S ，则)()()()()()(323232b a c abc a c b abc c b a abc S +++++= .)()()(ab b a c abac a c b ac bc c b a bc ⋅++⋅++⋅+=.,,bc ac bc ab ac ab bc ac ab c b a +≤+≤+≤≤≤≤则设.)(1)(1)(1b a c c a b c b a +≥+≥+∴可知S 为顺序和。

由排序式bc b a c abab c a b ac ac c b a bc S ⋅++⋅++⋅+≥)()()(,)()()(b a c bc a b a c b a c +++++=acb ac abbc c a b ac ab c b a bc S ⋅++⋅++⋅+≥)()()(.)()()(b a c ac a b c c b a b +++++=两式相加，有.3111311123=⋅⋅≥++≥cb ac b a S .23≥∴S 背景资料：湖北省麻城市一中甘超一老师在《应用排序不等式的方法一技巧》一文中给出了上述证明。

他还运用排序不等式方法给出了第17届IMO 试题、第20届IMO 试题的证明。

什么是排序不等式？——排序不等式是： 设有两个有序数组：,2121n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 及n n b b b c c c ,,,,,2121 为的任一排列，则有 n n b a b a b a ++2211（顺序和） n n c a c a c a ++≥2211（混序和） .1121b a b a b a n n n ++≥-（逆序和）式中的等号，当且仅当.2121时成立或者n n b b b a a a ====== 常可简述为：顺序和≥混序和≥逆序和。

证明：令)1,,2,1(,,2121-='≤+++='+++=n i S S c c c S b b b S i i i i i i 易知.nn S S '=且由命题得 ∑∑==-ni ii n i i i ca b a 11∑∑-=-=++-'-'--+=111111)()(n i n i i i i n n i i i n n a a S a S a a S a S ,0))((111≥-'-=+-=∑i i i n i i a a S S所以∑∑==≥n i ni ii ii c a b a 11.同理可证∑∑==+-≥n i ni i n i i i ba c a 111.排序不等式被称为某些著名不等式的共同来尖，用它可证明算术一几何平均不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式及其他更一般的不等工。

有兴趣的读者，可参阅《匈牙利奥林匹克数学竞赛题解》（科学普及出版社，1979年）第150页。

还可以根据排序不等式来证明第17届IMO 试题和第20届IMO 试题* 题1 （第17届IMO 试题）,,,),,2,1(,2121n n i i y y y x x x n i y x ≥≥≥≥≥≥= 且为实数设求证：如果n n y y y z z z ,,,,,,2121 是的任一排列，则∑∑==-≤-ni i i ni i iz x y x1212.)()(证明：因为∑∑∑∑====+-=-n i n i ni i i i in i i i y y x x y x 1112212,2)(,2)(1211212∑∑∑∑====+-=-ni i ni i i ni i ni i iz z x x z x又因为∑∑===ni ni i iz y1122，故要证的不等式等于.11∑∑===ni ii ni ii z x y x上式左边是顺序和，右边是混序和，由排序不等式可知上面不等式成立，从而原不等式获证。

题2 （第20届IMO 试题）已知 ,,,21n a a a 为任意两两各不相同的正整数。

求证：对任何正整数n ，下列不等式成立：∑∑==≥nk nk k kk a 112.1证明：设n n a a a b b b ,,,2121 是<<<的一个排列，由于22221312111n>>>> ，所以根据排序不等式有n n b n b b a n a a .1.21.11.1.21.112121222212+++≥+++ ，（混序和≥逆序和）即 ∑∑==≥nk nk kk k b k a 1122. 因为).,,2,1(,,21n k k b b b b b k n k =≥<<<所以且都是正整数 于是∑∑∑====≥nk n k nk k kk k k b 11122.1从而得∑∑==≥nk nk k kk a 112.1甘肃省临泽第一中学魏正清老师对于本题给出了九种证明方法*（证法三——第十一个证法十一）证法三 利用柯西不等式))(()]([121212∑∑∑===≤ni i ni i ni i i b a b a 的推论：).,2,1,()]()[()]([212112n i R a b a a b a i ni i i n i i n i i i =∈≤+===∑∑∑得[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++++)(1)(1)(1)()()(333b a c a c b c b a b a c c c b c a a ,)()111(22ca bc ab cb a ++=++≥ 于是)(21)(2)()(1)(1)(12333ca bc ab ca bc ab ca bc ab b a c a c b c b a ++=++++≥+++++证法四 利用柯西不等式的推论：∑∑∑=+===∈≥ni i n i ini i iin i R b ba b a 11212).,,2,1,()(得ba c a cbc b a b a c a c b c b a 111111111)(1)(1)(1222333+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++ .2313.2111121*********=≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥abc c b a c b a c b a证法五 利用权方和不等式∑∑∑==+=+≥ni ni q iq ni i q iq i ba ba11111)(的推论：∑∑∑===+-=>>=ni i i ni qi p ni i p q iq i n i b a b a n ba11111),,2,1,0,0()()(.得ba c a cbc b a b a c a c b c b a 111111111)(1)(1)(1222333+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++ .2313.21111211112111.332121=≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥+-abc c b a c b a c b a证法六 利用均值不等式),,2,1,().()1(11211n i R a a a a a n a n i n i n r n r ni i r i =∈≥≥+==∑∑的推论： ∑∑=-=⎪⎭⎫⎝⎛-≥-ni m n i i in mi a n n n a S a 11111λλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≥=∈∑=+n S a S a s a m a S R a n n n n n i i n i 1,,,,max ,1,,211 λ 令,31,1,1,1max 1,2,1,1113333⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>===++=S c S b S am c b a S λλ则 得cS c b S b a S a b a c a c b c b a 111111)(1)(1)(1323232333-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++.2313.213111.233==++≥abc c b a 证法七 利用著名的切比雪夫不等式：若n n b b b a a a ≤≤≤<>≥≥ 21210,0或则,0,02121>≥≥≤≤≤<n n b b b a a a∑∑∑====ni ni ini i iiba nb a 111.)(不妨设.,,111111222---------+≥+≥+≤≤≥≥b a a c c b c b ac b a 则有于是112112112333)(1)(1)(1---------+++++=+++++b a c a c b c b a b a c a c b c b a .2313.2111121)(2)()(2)(331112111111222=≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++++≥++++≥------------abc c b a c b a c b a c b a c b a 证法八 构造二项平方和函数∑=≤∆≥-=ni i i x f b x a x f 12,00)(,)()(解决和由 构造222)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=bc ac x bc ac ab ab bc x ab bc acac ab x ac ab bc x f),(2)(2.2222222ac bc ab x ac bc ab x bc ac b a ab bc a c ac ab c b +++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= 因为即所以,0,0)(=∆≥x f.0)(8)(42222222≤++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-++ac bc ab bc ac b a ab bc a c ac ab c b ac bc ab于是.23321)(213222222222=⋅≥++≥+++++c b a ac bc ab bc ac b a ab bc a c ac ab c b 即.23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a证法九 从对称不等式等号成立出发证明，原不等式等价于.23)()()(222222≥+++++b a c b a a c b a c c b a c b注意到当且仅当,4)(21)(,122c b a c b a c b c b a +==+===此时时不等式取等号 得.4)()(22bc c b a c b a c b ≥+++ 同理.4)()(,4)()(2222ab b a c b a c b a ca c b a c b a c b ≥+++≥+++三式相加得.2321)(21)()()(3222222222=⋅≥++≥+++++c b a ac bc ab b a c b a a c b a c c b a c b 证法十 由对称性引入正参数t ， 由于)(1,2)()(1,2)()(1333b a c b t a c tb a c b a t c b ta c b a +≥+++≥+++ .2)(ctb a tc ≥++ 三式相加得).(2)(2)(1)(1)(1333ca bc ab t ca bc ab t b a c a c b c b a ++≥++++++++ 用1=abc 与前三个不等式取等号的条件联立解得41=t ，把它代入上式从而得 .23321)(21)(1)(1)(13222333=⋅≥++≥+++++c b a ca bc ab b a c a c b c b a证法十一 构造向量的内积证明，设 (),)(,)(,(b a c a c b c b a OA +++=,)(,)(,(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=b ac ab a c b ca c b a bc OB 向量).0(πθθ≤≤的夹角为与OB OA 因,)(2||ca bc ab OA ++=.)()()(||222222b a c b a a c b a c c b a c b OB +++++=所以θcos ||||⋅=⋅OB OA OB OAθcos )()()()(2222222⋅+++++⋅++=b a c b a a c b a c c b a c b ca bc ab.ca bc ab ++= 而故有,1|cos |≤θ)(21)()()(222222ac bc ab b a c b a a c b a c c b a c b ++≥+++++,233213222=⋅≥c b a 因此.23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a证法十二*： 注意到,111,1ca bc ab abcca bc ab c b a abc ++=++=++=故利用此式可发现下面的证明。