第四讲：
流体流动描述方法及速度场
流体流动描述方法及速度场
一、流场及其描述方法
二、流体流动的速度场
三、迹线与流线
流体运动学：用几何的观点研究流体流动现象及其规律;不涉及引起运动变化的原因,即力的作用。
描述流体运动的困难
拉格朗日坐标
•以一组数(a，b，c）作为标记，如质点初
始时刻t=t
0的位置坐标(a
，b
，c
），来
识别运动流体的一个质点，这组数称为拉格朗日坐标或随体坐标。
•流体不管什么时候，运动到哪，其拉格朗日坐标不变
1-1 拉格朗日法
●
着眼于流体的质点，流
体质点表示为拉格朗日
坐标和时间的函数。
●流体质点运动轨迹：k z j y i x r t c b a z z t c b a y y t c b a x x ++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===迹线方程),,,(),,,(),,,()
,,,(t c b a r
=
1-2 欧拉法
✓欧拉坐标
●以固定于空间的坐标系中的一组坐标，来表
示流体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，称为欧拉坐标。
●由连续性假设，流体质点与空间点，从而与
欧拉坐标是一一对应的。
✓欧拉法（空间描述法）
●着眼于空间点，将流体的运动和物理参数直
接表示为空间坐标和时间的函数，而不是沿运动轨迹去追踪质点。
●任意空间点（x，y，z）处流体速度：●同理●
流动问题有关任意物理量（矢量或标量）(,,,),(,,,)
x y z t p p x y z t ρρ==(,,,)
x y z t ϕϕ=ϕ(,,,)V V x y z t = k t z y x w j t z y x v i t z y x u ),,,(),,,(),,,(++=
欧拉法把流场
的运动要素和
物理量都用场
的形式表达，
为在分析流体
力学问题时直
接运用场论的
数学知识创造
了便利条件。
•欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。
●关注沙尘暴（风暴）的走向，拉格朗日法描述。
●
关注某一地区的天气情况，欧拉法描述
拉格朗日描述与欧拉描述
流场：流体由无穷多个质点构成，流体质点存在相对运动和相互作用。
流体运动必须分析其每个几何点上
流体的运动变化。
充满流体的空间
称为流场。
流体流动描述方法及速度场
一、流场及其描述方法
二、流体流动的速度场
三、迹线与流线
2-1 流体质点运动的加速度
✓速度与加速度
●速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加
速度则是同一流体质点的速度对时间的变化率。
●通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定
流体质点，应该在拉格朗日观点下进行。
●若流动是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度
只须将位移矢量直接对时间求一、二阶导数即可。
●
虽然按空间坐标描述，但其是质点的速度●
是时间和空间坐标的函数●流体质点所处的空间坐标（x，y，z）也是t 的函数
●流体质点的加速度必须按照复合函数求导的法则求得(,,,)(,,,)(,,,)V u x y z t i v x y z t j w x y z t k =++ V V
例1:流体质点速度沿x方向成线性规律变化，
=2m/s,已知相距l=50cm两点的速度为u
A
=6m/s。
流动是定常的，试求A、B两点的质点u
B
加速度。
解：设速度u=ax+b，以A点为x轴坐标原点
燃料电池城市客车热管理
燃料
电池蓄电池空调电机电机
控制
器DC/DC
空调蓄电池电机及控制器冷却
燃料电池冷却
DC/DC 冷却
速度场：电动汽车热管理
测点1234
温度(℃)45384642流速
(m/s)4 3.83.53
蓄电池顶置引起电堆过热电堆冷却
蓄电池空调问题
分析
测试改进
解决过热蓄电池顶置热管理
DC/DC ，电机及其控制器高效冷却
方案分析
满足要求满足要求降低功耗系统设计
台架实验
示范应用
优化设计
燃料电池废热供暖
热源温度(℃)43
56.262.8可回收功率(kW)15.821.424.9按FC 电堆平均功率30kW,效率50％，回
收余热产生的经济性收益大于5%。
环境
温度
7℃实车测试
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•欧拉（Leonhard Euler ，1707-1783）：瑞士数学家、力学家、天文学家、物理学家，变分法的奠基人，复变函数论的先驱者，理论流体力学的创始人。
•欧拉曾任彼得堡科学院教授，柏林科学院的创始人之一。
他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人。
他认为质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。
•他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定的流体质点（1759）描述流体速度场。
前者称为欧拉法，后者称为拉格朗日法。
•欧拉奠定了理想流体的理论基础，给出了反映质量守恒的连续方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。
认识大师：欧拉
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•目前世界流通的货币封面上，彩印的人物有两位数学家：一位是英镑上的牛顿、另一位就是“货币定海神针”——瑞士法
朗上的欧拉。
•欧拉是历史上最著名的宫廷数学家，他毕生往返于两个敌对的国度———俄罗斯和德意志之间，侍奉于不同的国王和皇后，进行着政治和学术的博弈。
•俄国：欧拉积极参与并领导了俄国制定地图的工作。
从30年代中期开始，欧拉以极大的精力研究航海和船舶建造问题．这些问题对于俄国成为海上强国，是具有重大意义的。
•德国：欧拉曾担任过普鲁士政府关于安全保险、退休金和抚恤金等问题的顾问，并为腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果(1745年)，设计改造费诺运河(1749年)，曾主管普鲁士皇家别墅水力系统管系和泵系的设计工作。
•欧拉始终保留了他的瑞士国籍，而其学术生涯却是是在国外完成的。
在真理面前，欧拉追求得只是其纯粹。
正如富兰克林所说：“哪里有自由，哪里就是我的祖国。
”
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•欧拉28岁时，为了赢得一项天文学的巴黎大奖，他连续工作三天三夜解决了难题，结果引发一场疾病导致右眼失明，60岁时左眼患上白内障。
•伤残并没有影响他的学术进度，在欧拉完全失明的17年间，欧拉有400多篇论文和许多数学著作，最让他得意的工作是发现月球的运动规律，那曾是惟一使牛顿头痛的问题，被欧拉通过复杂的分析和心算推导出来了。
•欧拉生性乐观，除了失明以外，欧拉一生还遭遇了许多不幸，8个孩子先后夭折，1771年的圣彼得堡大火几乎夺走了他的生命和手稿。
这一切都没有摧毁欧拉的意志，他热爱生活，写论文时往往膝上抱着婴儿，大一点的孩子则绕膝戏耍。
“如果命运是块顽石，我就化成大锤，将它砸得粉碎！”
流体流动描述方法及速度场
一、流场及其描述方法
二、流体流动的速度场
三、迹线与流线
3-1 迹线与迹线方程
迹线：流体质点的运动轨迹；与拉氏描述相联系。
⎪⎩⎪⎨⎧===)
,,,()
,,,()
,,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x
✓流线：
3-2 流线与流线方程
●用来描述流场中各点流动方向的曲线。
它是某时刻速度场中的一条矢量曲线，该曲线上任意一点的切线方向与流体在该点的速度方向一致。
●与欧拉描述
相对应。
•性质：
a.流线不能相交，经过空间一点只有一条流
线（除速度为零或无穷大点外）。
b.流场中每一点都有流线通过，所有的流线
形成流谱。
c.定常流动中的流线形状和位置不随时间变
化，并与迹线重合，非定常流动的流线形状和位置随时间变化。
•流线是流速场的矢量线；有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘。
当t=0，x=-1，y=-1代入上式，得C=-1.过点M的流线为xy=1
1
1
2
x x y t y t =--⎧⎨⎩⇓
+-=-=011t ⇒=--时，过M （，）的质点运动规律为
染色线：
•将在一段时间内经过流场中同一空间点的流体质点在某瞬时连接起来的一条曲线。
•染色线是同一时刻不同质点的联线，又称脉线。
•定常流动中，三者重合。
•非定常流动中，三者不重合。