第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29D.79解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.答案 A2.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34π B.π3 C.π4D.π6解析 因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2，则cos A ＝sin A .在△ABC 中，A ＝π4. 答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋ sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C ，则sin C ＝12，得C ＝π6. 答案 B4.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析 由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝55×22＋255×22＝31010.答案 31010考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a . 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)； 变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等. (2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B.热点一 三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2017·九江一模)已知tan θ＝3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2θ＝( )A.－45B.－35C.35D.45(2)如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为________.解析 (1)∵tan θ＝3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2θ＝sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝610＝35. (2)由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形， 所以sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，又因为3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.答案 (1)C (2)513探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________.(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.解析 (1)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13. (2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π， 所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.答案 (1)13 (2)π3热点二 正弦定理与余弦定理命题角度1 利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】 (2017·武汉二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1. (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积. 解 (1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1，得2(sin A sin C －cos A cos C )＝1，即cos(A ＋C )＝－12， ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝12， 又0<B <π，∴B ＝π3.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12，又a ＋c ＝332，b ＝3，∴274－2ac －3＝ac ，即ac ＝54，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316.【迁移探究1】 若本题第(2)问条件变为“若b ＝3，S △ABC ＝332”，试求a ＋c 的值.解 由已知S △ABC ＝12ac sin B ＝332， ∴12ac ×32＝332，则ac ＝6.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ， 所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝21，所以a ＋c ＝21.【迁移探究2】 在本例条件下，若b ＝3，求△ABC 面积的最大值. 解 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，则3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，所以ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝3时取等号). 所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×3×sin π3＝334. 故△ABC 面积的最大值为334.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD sin π612AC·AD sin π2＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为 3.命题角度2应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】(2017·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米解析由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420米.在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CHsin∠CAH ＝ACsin∠AHC.可得CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(米).答案 B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 【训练3】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). 答案 100 6热点三 解三角形与三角函数的交汇问题【例3】 (2017·长沙质检)已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值. 解 (1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x －1＝3sin 2x －(cos 2x ＋1)－1＝3sin 2x －cos 2x －2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－4. (2)因为f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－2＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又C ∈(0，π)，知－π6<2C －π6<116π，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3.因为sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝3，所以a ＝1，b ＝2.探究提高 1.解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.2.求解该类问题，易忽视C 为三角形内角，未注明C 的限制条件导致产生错解. 【训练4】 (2017·唐山调研)已知函数f (x )＝2cos 2 x ＋3sin 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，a ＝1且f (A )＝3，求△ABC 面积S 的最大值.解 (1)f (x )＝2cos 2 x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤k π＋π6(k ∈Z )所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).(2)由f (A )＝3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1.又因为0<A <π，所以A ＝π6.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝3bc ＋1， 所以3bc ＋1≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c ＝2＋3时取得“＝”， 所以S ＝12bc ·sin A ≤2＋34， 即△ABC 面积S 的最大值为2＋34.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法： (1)通过正弦定理实施边角转换； (2)通过余弦定理实施边角转换； (3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010B.1010C.－1010D.－31010解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan ∠BAC ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos ∠BAC ＝－1010. 答案 C2.(2017·德州二模)已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0<β<α<π2，那么β＝( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析 由cos α＝35，0<α<π2，得sin α＝45， 又cos ()α－β＝7210，0<β<α<π2，即0<α－β<π2，可得sin(α－β)＝210， 则cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝35×7210＋45×210＝22，由0<β<π2，得β＝π4. 答案 C3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A.3 B.932 C.332D.3 3解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②， 由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 答案 C4.(2017·南昌模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为( )A.－19B.19C.53D.－53解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2－3cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝53.答案 C5.(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2b B.b ＝2a C.A ＝2BD.B ＝2A解析 等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B.等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ， 因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . 答案 A 二、填空题6.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22， 结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°7.(2017·池州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13； 又0<α<π2，∴π6<π6＋α<2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案2238.(2017·湖北七市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.解析 由题意c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－ 4b 2cos 120°＝5b 2＋2b 2＝7b 2，则c ＝7b ＝72a ，所以sin C ＝72sin A ＝32，∴sin A ＝217，cos A ＝277，则tan A ＝32.答案 32 三、解答题9.(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55acac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255. 10.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z,可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ， 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34. 所以△ABC 面积的最大值为2＋34.11.(2017·衡水中学调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若(a －c )sin A －b sin B ＋(a ＋b －c )sin C ＝0. (1)求角A ；(2)当sin B ＋sin C 取得最大值时，判断△ABC 的形状. 解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .代入(a －c )sin A －b sin B ＋(a ＋b －c )sin C ＝0化简整理得： b 2＋c 2－a 2＝bc ，则b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以cos A ＝12. 又因为A 为三角形内角，所以A ＝π3. (2)由(1)，得B ＋C ＝23π，所以sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－B＝sin B ＋sin 23πcos B －cos 23πsin B＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <23π，所以π6<B ＋π6<56π所以当B ＝π3时，B ＋π6＝π2，sin B ＋sin C 取得最大值3，因此C ＝π－(A ＋B )＝π3， 所以△ABC 为等边三角形.。