1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明（1）电子气体的压强()()V p 032ξ⨯=，其中0ξ为电子气体的基态能量。

（2）体弹性模量()V p V K ∂∂-=为V100ξ 解：（1）()32352225223101101-==V N m h V m k h F πππξ（1.1.1）()()()()()V V Nm h V N m h V N m h V V p 035352223535222323522223101323231013101ξππππππξ⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂-=---（1.1.2） （2）()()()()VV N m h V N mh V V N m h VVV p V K 103101910353101323101320383522238352223535222ξππππππ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=∂∂-=---（1.1.3）1.2 He 3原子是具有自旋1/2的费米子。

在绝对零度附近，液体He 3的密度为0.081g •cm -3。

计算费米能量F ε和费米温度F T 。

He 3原子的质量为g m 24105-⨯≈。

解：把 He 3原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1.328322241062.11062.1105081.01m cm m Z n m ⨯=⨯=⨯⨯==--ρ（1.2.1） ()1917312108279.7108279.73--⨯=⨯==m cm n k F π（1.2.2）()eVJ m k F F 42327293422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯== ε （1.2.3）K k T B F F 92.410381.1106.801742323=⨯⨯==--ε（1.2.4）1.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为1108.2--⋅=K mol TmJ C e ，在自由电子气体模型下估算钾的费米温度F T 及费米面上的态密度()F g ε。

解：()F B A F B A V A e T T k N n T Tnk N n C N C 2222ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==（1.3.1）K TT C T k N T e B AF 332322321073.191008.210381.1210022.62⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--ππ（1.3.2）()31463233281071.71073.1910381.1104.1232323----⨯=⨯⨯⨯⨯===m J m T k n n g F B F F εε（1.3.3）1.4铜的密度为395.8g m =ρ。

室温下的电阻率为cm ⋅Ω⨯=-61055.1ρ。

计算 （1）导电电子浓度； （2）驰豫时间；（3）费米能量F ε，费米速度F v ； （4）费米面上电子的平均自由程F l 。

（5）等离子体的振荡频率ωp. 解： （1）322231048.8546.6395.8110022.6-⨯=⨯⨯⨯==cm A Z N n m Aρ（1.4.1）（2）()()()s ne m ne m 14262196223122107.2101055.110602.1101048.810110.9-----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===ρστ（1.4.2）（3）()()11018312223121036.11036.11048.833--⨯=⨯=⨯⨯==m cm n k F ππ（1.4.3）()eVJ m k F F 05.71013.11011.921036.110055.1218312103422=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--- ε（1.4.4）()s m m k v F F 63110341057.11011.91036.110055.1⨯=⨯⨯⨯⨯==--（1.4.5）（4）m v l F 81461025.4107.21057.1--⨯=⨯⨯⨯==τ （1.4.6） （5）等离子体的振荡频率Hzm ne ep 16021064.1⨯==εω.1.5考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体，电子系统相对于等量均匀正电荷背景有一小的整体位移。

证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这一小振动问题的特征频率。

解：（仅供参考）()2102201cos 2θk k k k k ∆+∆+=（1.5.1）E k ∆ 0k 1k偶极矩强度为：()()()()()()()θθθθθπθθθπθθθπθθθπθθϕθππππππd cos sin cos 2cos 2d cos sin d cos sin d cos sin d 4cos 2d d d sin 2002022020202021221204041203202021010⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆+∆∆+∆++-=-+-=--=-=-=k k k k k k k kne k kk k ne k k ne k k ne k k k ne P k k k k（1.5.2）取近似，忽略k ∆的2阶以上无穷小量knek knek k nek k k k ne P ∆-=∆=∆=∆⨯-=⎰⎰3020330203020020343cos 4d cos sin cos 4d cos sin cos 22πθπθθθθπθθθθππππ（1.5.3） 电极化强度为kne V k nek V P∆-=∆-==3034p π（1.5.4）位移电子受到的电场为00εεkne pE ∆=-=（1.5.5）在此电场下，电子受力指向平衡位置，大小正比于位移。

所以，电子在平衡位置作微小振动。

特征频率为mne p 02εω=（1.5.6）1.6在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al 是透明的？ 解：金属的等离子体的振荡频率为 当p ωωωτ>>>,1时，金属是透明的。

2ne m στ=（1.6.1）1621210101.51≈⨯==>>σστωm ne（1.6.2）()1631122192802104.21011.910854.810602.1101.18⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==>---m ne p εωω（1.6.3）nm m c 5.781085.72104.210328168=⨯=⨯⨯<=-ππωλ（1.6.4）波长小于78.5nm 时，金属Al 是透明的。

1.7对于自由电子气体，证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，即横向磁阻为零。

解：()0d d =+⨯+-=τp B v E e t p时（1.7.1）JB J m e E +⨯=τσ0（1.7.2） 分量式()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=z x y y x z yz x x z y x y z z y x J B J B J m e E J B J B J m e E J B J B J m e E τστστσ000 （1.7.3） []J E ρ=（1.7.4）[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1110xyx zy z B B B B B B m e στρ（1.7.5）从上式可以看出电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，所以横向磁阻)0()()0(xx xx xx B ρρρ-为零。

1.8对于表面在z=0和z=L 之间的金属平板，假定表面相当于一无穷高的势垒， （仅供参考）（1）证明单电子波函数比例于()[]y k x k i z k y x z +ex p sin（2）证明在金属内r 处的电荷密度为 ()()[]u j r 1031-=ρρ其中z k u F 2=，0ρ是波函数比例于()[]z k y k x k i z y x ++ex p 时的电荷密度，1j 是一级球贝塞尔函数。

解：（1）0222=+∇E ΨΨm（1.8.1） 解得()()()z ik zik yik yik x ik x ik z z y y x x De eCeeBe e A Ψ---+++=（1.8.2）在x 、y 方向是自由空间，所以，0==C B 。

⎩⎨⎧><∞<<=L z z L z V ,000（1.8.3）⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+∴-πn L k D De e D z L ik L ik z z1001 （1.8.4） ()()[]y k x k i z k A Ψy x z +'=ex p sin（1.8.5）其中A i A 2='在z 方向取归一化条件()()()1242sin 2d 22cos 1d sin d 202020220*='=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-'=-'='=⎰⎰⎰L A k z k L A z z k A zz k A z ΨΨL zz Lz Lz L（1.8.6） 所以L A 2='（1.8.7）()()[]y k x k i z k L Ψy x z +=ex p sin 2（1.8.8）（2）()()[]()()[]()()()()()()()()()()z k Lz z k k Lz k L k kz z k k Lz k L kz z k L k L k kz z k L k L k kz zk L k L k k kz Lk L k k kz Lk k L k k kz Lk k z k Lk k y k x k i z k LF F F F k F F F k F k F k F k F k k k k z k y x z F F F F F F F F F F2sin 22cos 34d 2cos 2cos 342cos d 2234d 2sin 234d cos 2sin 2234d cos d cos 2cos 234d d sin cos 2cos 2d d sin 2d d sin cos 2cos 12d d sin sin 4d d d sin exp sin 232302302303003002300200200200222022πππππππππθππθθππθθθπθθπθθθπθθπϕθθρππππππππ-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=-=+=+=-=-==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1.8.9）()[]30022022034d d sin 2d d d sin exp 1F k k z y x k Lk k L k k z k y k x k i LF Fπθθπϕθθρπππ==++=⎰⎰⎰⎰⎰（1.8.10）()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=3203322032330sin cos 312sin 832cos 4312sin 22cos 3434u u u u z k k z z k k z z k Lz z k k Lz k L k L F F F F F F F F Fρρππππρρ（1.8.11）。