第六章习题解答1．已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min ≤-+=≤-=⋅-+-=xx x g xxx g ts xx x f试从第k 次的迭代点[]x21-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点+x 。
并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。
[解] 1）确定本次迭代的随机方向：[]S0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2)用公式：Sx x α+=+计算新的迭代点。
步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。
到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.021=-⨯+=+==⨯+-=+=++Sx xS x x αα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.0X即：该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2．已知约束优化问题：)(0)(025)(124)(min ≤-=≤-=≤-+=⋅--=xx g x x g x x x g ts xx x f试以[][][]x x x33,14,12===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。
[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：[][][]93512-=⇒==⇒=-=⇒=03032023314f xf x fx经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。
为最好点，x x 2）计算去掉最坏点 02x后的复合形的中心点：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.22113312x Lx 3）计算反射点x（取反射系数3.1=α）20.693.30.551422.51.322.5)(11021-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=fx xxx x值为可行点，其目标函数经判断α4）去掉最坏点1R 0301x x x x 和，，由构成新的复合形，在新的复合形中为最坏点为最好点，011R x x ，进行新的一轮迭代。
5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 3.151.7753.30.553321x6）计算新一轮迭代的反射点得：，完成第二次迭代。
值为可行点，其目标函数经判断413.14 5.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(121112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=fx x xxxα3．设已知在二维空间中的点[]xxx =，并已知该点的适时约束的梯度[]g 11--=∇，目标函数的梯度[]f 15.0-=∇，试用简化方法确定一个适用的可行方向。
[解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(xf P xf P d ∇∇-=/)(x 点的目标函数梯度为：[]xf 15.0)(-=∇x点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：[]xg G 11)(--=∇=梯度投影矩阵P 为：[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--5.05.05.05.00111111111001GGGG I P则：适用可行方向为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=707.0707.010.50.50.50.50.510.50.50.50.50.5d4．已知约束优化问题：00)(34)(min ≤-=≤-=≤-=⋅-+-=xgx g x g ts xxxx xx f试求在[]x1/21/4=点的梯度投影方向。
[解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(x f P x f P d ∇∇-=/)(x 点的目标函数梯度为：[]xf 125.0125.0--=∇)(x点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：[]xg G 001)(1-=∇=梯度投影矩阵P 为：[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=--10001000000100100100110001000111GGGG I P则：适用可行方向为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=97.0243.00125.0100010.250.1251000100000.12500100d312)(2112221≤-=⋅+-+=xg ts x xx x f m in（提示：可构造惩罚函数 []∑=-=)(ln )(),(x g r x f r x φ，然后用解析法求解。
）[解] 构造内点惩罚函数：[]∑=--+-+=-=21)()(),(x r x x xx g r x f r x )3ln(12ln φ令惩罚函数对x 的极值等于零：0)3/()(222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=x r x x dx d φ得：48366121r xx +±== 舍去负根后，得483662r x++=当 []x xr 31302=→→该问题的最优解为，时，。
0)(min ≤-=≤-=⋅+=xgx x g ts xx x f[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(1)+x(2) endsubroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=x(1)*x(1)-x(2) gx(2)=-x(1)endsubroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=0.0 end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 2 KH= 0 X : .1000000E+01 .2000000E+01 FX: .3000000E+01GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01 X : .1000000E+01 .2000000E+01 FX: .3000000E+01GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01 PEN = .5000000E+01R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0 R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06 X : .9493056E-07 .7203758E-07 FX: .1669681E-06GX: -.7203757E-07 -.9493056E-077．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：1)(0)()(2121112≤-+=≤-=⋅-=xx x h x x g ts x xx f ln m in[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(2)-x(1) endsubroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=-log(x(1))] gx(2)=-x(1) gx(3)=-x(2) endsubroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=x(1)+x(2)-1end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 3 KH= 1 X : .2000000E+01 .1000000E+01FX: -.1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 HX: .2000000E+01 PEN = .5942695E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 29 ITE= 143 ILI= 143 NPE= 1190 NFX= 0 NGR= 172 R= .7205765E-11 PEN= -.9999720E+00 X : .1000006E+01 .3777877E-05FX: -.1000012E+01GX: -.5960447E-05 -.1000006E+01 .6222123E-05 HX: -.2616589E-06。