2012年高考数学（上海）第19题（理）试题优美解
试题（上海、 理科19）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，
PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2，
AD=22，PA=2.求：
（1）三角形PCD 的面积；（6分）
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）
解析：（1）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(222=+，CD =2，
所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯
（2）解析1如图所示，建立空间直角坐标系，
则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)， )1,2,1(=，)0,22,0(=.
设AE 与BC 的夹角为θ，则
222224cos ===⨯⋅BC
AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4
π
解析2 取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则
EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角
在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2
知AEF ∆是等腰直角三角形，
所以∠AEF =4
π. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4
π
试题或解法赏析.
本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.y A B C D P
E F
本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．。