绝密*启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷
一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。
(1) 已知集合{1,2,3,4,5}A ,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为
(A )3 (B )6 (C) 8 (D )10
(2) 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由
1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有
(A )12种 (B )10种 (C) 9种 (D )8种
(3) 下面是关于复数21z i
=-+的四个命题: 1:||2P z =, 22:2P z i =,
3:P z 的共轭复数为1i +, 4:P z 的虚部为-1,
其中的真命题为
(A )23,P P (B) 12,P P (C) 24,P P (D) 34,P P
(4) 设12F F 是椭圆E :22
22(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,21F PF 是底角为30 的等腰三角形,则E 的离心率为()
(A )12 (B )23 (C )34 (D )45
(5) 已知{}
n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=()
(A )7 (B )5 (C )-5 (D )-7
(6) 如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实
数12,,...,N a a a ,输出A,B,则
(A )A+B 为12,,...,n a a a 的和
(B )2
A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数 (C )A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数
(D )A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数
(7) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为
(A )6
(B )9
(C )12
(D )18
(8) 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线2
16y x =的准线交于,A B 两点,
||AB =,则C 的实轴长为
(A (B )(C )4 (D )8
(9) 已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2
ππ单调递减。
则△t 的取值范围是 (A )15
[,]24 (B )13[,]24
(C )1
(0,]2 (D )(0,2]
(10) 已知函数1()ln(1)f x x x
=+-,则()y f x =的图像大致为
(11) 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为
球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为
(A)6
3
(D) 2
(12) 设点P 在曲线12x y e =
上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则||PQ 最小值为 (A )1ln 2- (B
ln 2)- (C )1ln 2+ (D
ln 2)+
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22-24题为选考题,考生根据要求作答。
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13) 已知向量,a b 夹角为450
,且||1,|2|a a b =-||b = (14) 设,x y 满足约束条件1,3,0,
0,
x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则2z x y =-的取值范围为
(15) 某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则
部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布2(1000,50)N ,且各个部件能否正常工作相互独立,那
么该部件的使用寿命超过1000小时的
概率为
(16) 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角,,A B C 的对边,cos sin 0a C C B C --=,
(I )求A ;
(II )若2a =,△ABC 求,b c
(18)(本小题满分12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。
(I)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式。
(II )花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
(i ) 若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X x 的分布列、数学
期望及方差;
(ii ) 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由。
(19)(本小题满分12分)
如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112
AC BC AA ==
,D 是棱1AA 的中点,1DC BD ⊥
(I )证明:1DC BC ⊥
(II )求二面角11A BD C --的大小。
(20)(本小题满分12分)
设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ,准线为L ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交L 于,B D 两点。
(I )若90,BFD ABD ∠= 的面积为p 的值及圆F 的方程;
(II )若,,A B F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到,m n 距离的比值。
(21)(本小题满分12分)
已知函数()f x 满足121()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+ (I ) 求()f x 的解析式及单调区间;
(II ) 若21()2
f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值。
请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,,D E 分别为△ABC 边,AB AC 的中点,直线DE 交于△ABC
的外接圆于,F G 两点,若//CF AB ,证明:
(I ) CD BC =;
(II )
BCD GBD
(23)(本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩,(ϕ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴
建立坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且,,,A B C D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,
)3π (I )
求点A 、B 、C 、D 的直角坐标; (II ) 设P 为1C 上任意一点,求2222
||||||||PA PB PC PD +++的取值范围。
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数()|||2|f x x a x =++-.
(I)
当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集; (II) 若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围。