解：1）右边界（x=0） x x 0 y
x
O
xy x 0 0
n
y
2）左边界（x=y×tg）
cosn, x cos
y
m cosn, y cos( )
2
sin
y
fx 0, fy 0
由：
x n
xs mxy s fx xy s my s fy
O
y
l co sm sin
一.位移边界条件
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移
分量是已知的，即： 式中：
us u, vs v （２～１４
us、 vs —是位移的边界值；
u、v — 边界上坐标的已知函数或边界上
已知的位移分量。
二、应力边界条件
边界上面力分量为已知。建立边界上微元体的应 力分量与面力分量的关系
二、应力边界条件
位 移 边 界 条 件 不 能 完 全 满 足 。
圣维南原理的应用
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。
• 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。
• 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
• 证明概要：只需注意方程都是线性的， 同时边界条件也是线性的即可。
• 推广：以上两组外力可以推广到n组外力。 • 分解原理：根据叠加原理，可以把原问
题分解成几个简单的问题单独求解。
§2-7.圣维南原理(局部性原理)
一.圣维南原理的叙述
描述－1、如果把物体的一小部分边界上 的面力以等效力系（主矢及主矩均为相同） 代换，则在加载附近的的应力发生显著变 化，而在稍远处的影响可忽略不计，亦即 与载荷在边界上的作用形式无关。 描述－2、如果物体在一小部分边界上的 面力是一个平衡力系（主矢及主矩均为 零），则面力就只会使近处产生显著的应 力，远处的应力可忽略不计。
二. 圣维南原理的应用条件
1、必须用等效力系代替。
2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上)
举例 P
P 图(a)
q P A
q
图(b)
P 图(c)
（ 1 ） 以 (b )代 (a)应 力 边 界 条 件 可 以 近 似 满 足 。 （ 2 ） 以 (b )代 (c)应 力 边 界 条 件 可 以 近 似 满 足 ,但
x yx
xyysm l ffxy
y
xscosxyssi n0
xyscosyssi n0
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。
• 表述－2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。
o
x
上 面 ： l=0， m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下 面 ： l=0， m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量 符号规则
举例：
X 0,Y q
l0;m1
X q Y 0
y
X 0,Y q
x
X q Y 0
(1).左右 (2).上下
l 1 ( x)s fx
m
0 ( Y m1 ( yx)s X
右 : ( x) s q , ( xy ) s 0 左 : ( x) s q , ( xy ) s 0 上 : ( y) s q , ( yx ) s 0 下 : ( y ) s q , ( yx ) s 0
静力等效边界条件：对于严格要求的条件在局部放松
y
线性分布的边界力所形
h 2 h 2
L
y
M 成的力偶等于M x 由材力弯曲公式： M yy
Iz
严格面力
fx
M yy Iz
h
f y 0
2
y
h 2
x 严格边界条件
L
x
xL
M yy Iz
只有在右端弯矩是由线性分布的外力引起时， xy
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的 应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各 自的符号规定。但需要用边界的方向余弦
特例--边界面与坐标轴平行时 (1).左右两面
x yx
xyysm l ffxy
l 1 ( x)s fx m0 ( xy)s fy (2).上下两面 l 0 ( y)s fy m1 ( yx)s fx
三、混合边界条件 1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一
部分边界上应力分量已知。 2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个
应力分量。 图(b)
图(a)
o
x
x
y
us u 0
xy
fy
0
y
(
x)s fx 0
vs v 0
例1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，
除与正应y力的 关y 系外。，(还假有设剪任应何力界面 x上y 。y方并向确的定正边应界力上均匀 分x 、布) xy
在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示：
弹性体内单元体斜面上的 应力分量与坐标面应力的
y
关系有(静力平衡)
yx
ppxyyxx
xyl ym
x
xy
Xf xn
单元体斜面恰为边界面则 面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件
yxx xyysm l ffxy
fYy n
注意：以上在推导时，斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定－与面力相同。
• 证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解(应力、应变和位移 全为零)。后者则需要用到应变能的概念。
• 据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。
叠加原理
• 叠加原理：两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。
o
y
解：
y
P A( y)
y
yx
lcons,xcos
mcons,ysin
x
xy
fx
由 xs mxy s fx
P
n
xy s my s fy
y
fy
xscosyxssin0 xyscosyssin0
xs ytg2Apytg2
xysytgApytg
[例] 写出应力边界条件。设液体比重为