湖南中考数学复习各地区2018-2020年模拟试题分类（长沙专版）（5）——二次函数一．选择题（共19小题）1．（2020•雨花区校级三模）已知抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax +5（a ≠0）的顶点为A ，抛物线M 与抛物线L 关于B （2，0）成中心对称，若抛物线M 经过点A ，则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．52C ．﹣5D ．53 2．（2020•天心区模拟）已知抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣b （a ≠0），它关于点（0，12）对称的抛物线为y 1，其顶点为A 1；关于点（0，22）对称的抛物线为y 2，其顶点为A 2；…；关于点（0，n 2）对称的抛物线为y n ，其顶点为A n …（n 为正整数）．则A 2020A 2021的长为（ ）A ．2020B ．2021C ．8080D ．80823．（2020•雨花区校级二模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①abc ＞0；①4a +2b +c ＞0；①9a ﹣b +c ＝0；①若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；①若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．54．（2020•雨花区校级一模）对于函数y ＝x 2﹣2|x |﹣3，下列说法正确的有（ ）个①图象关于y 轴对称；①有最小值﹣4；①当方程x 2﹣2|x |﹣3＝m 有两个不相等的实数根时，m ＞﹣3；①直线y ＝x +b 与y ＝x 2﹣2|x |﹣3的图象有三个交点时，−134＜b ≤﹣3． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．（2020•岳麓区校级一模）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与直线y ＝k （x ﹣1）−k 24，无论k 取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2﹣2xC ．y ＝x 2﹣2x +1D ．y ＝2x 2﹣4x +26．（2020•雨花区模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：x 2 4 5y 0.38 0.38 6则（a +b +c ）（−k +√k 2−4kk 2k +−k −√k 2−4kk 2k ）值为（ ）A ．24B ．36C ．6D ．47．（2020•天心区模拟）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表，且当x =−12时，与其对应的函数值y ＞0，有下列结论：（1）abc ＞0；（2）﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的两个根；（3）0＜m +n ＜203，其中，正确结论的个数是（ ） x … ﹣2﹣1 0 1 2 … y ＝ax 2+bx +c… t m ﹣2 ﹣2 n …A ．3B ．2C ．1D ．08．（2020•雨花区校级模拟）将二次函数y ＝ax 2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x 轴所得的线段长为4，则a ＝（ ）A ．1B ．13C ．29D ．12 9．（2020•雨花区校级模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则：①b ＝﹣2； ①该二次函数图象与y 轴交于负半轴； ①存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上； ①若a ＝1，则OA •OB ＝OC 2．以上说法正确的有（ ）A ．①①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①10．（2019•长沙模拟）将二次函数y ＝x 2﹣4x ﹣5向右平移1个单位，得到的二次函数为解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣4x ﹣6B ．y ＝x 2﹣4x ﹣4C ．y ＝x 2﹣6xD ．y ＝x 2﹣6x ﹣511．（2019•长清区一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①2a +b ＝0；①9a +c ＞3b ；①若点A （﹣3，y 1）、点B （−12，y 2）、点C （72，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2：①若方程ax 2+bx +c ＝﹣3（a ≠0）的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜3＜x 2；①m （am +b ）﹣b ＜a ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（2019•雨花区校级模拟）若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”，例如P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣6mx +9m +2（m ＜0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜m ≤﹣1B ．﹣2≤m ＜﹣1C ．﹣1＜m ＜−12D ．﹣1≤k ＜−12 13．（2019•雨花区校级模拟）抛物线y ＝a （x +2m ）2+m （a ≠0）的顶点，当m 取不同实数时，其顶点在下列（ ）上移动．A ．y =12kB ．y ＝2xC ．y =2kD ．y =−12k 14．（2019•开福区校级模拟）如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为x =12，且经过点（2，0），有下列说法：①abc ＜0；①a +b ＝0；①a +c ＜b ；①8a +7b +2c ＞0．则上述说法正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（2018•雨花区校级二模）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴C ，则下列说法正确的有（ ）①a +c ＝0；①b ＝﹣2①若a ＝1，则OA •OB ＝OC 2①无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2A ．①①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①16．（2018•雨花区校级二模）对于二次函数y ＝2（x ﹣3）2+4，下列说法中哪个是正确的（ ）A．有最大值4B．有最小值4C．有最小值3D．无法确定最值17．（2018•雨花区校级一模）若直线l：y=−12x+a与抛物线y＝x2+2x﹣3交于M、N两点，则当∠MON＜90°时，a的取值范围为（）A．−√152＜k＜√152B．k＜−√152或k＞√152C．−7316＜k＜−√152或k＞√152D．k＜−7316或k＞√15218．（2018•雨花区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y 轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；①9a+3b+c＝0；①4ac﹣b2＜2a；①2b＝3a．其中正确的结论是（）A．①①B．①①C．①①D．①①19．（2018•天心区校级一模）如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C 时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图2（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①BE＝BC；①当t＝6秒时，△ABE≌△PQB；①点P运动了18秒；①当t=272秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的是（）A．①①B．①①①C．①①D．①①①二．填空题（共1小题）20．（2020•长沙模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；①5a﹣b+c＜0；①方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；①若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有．三．解答题（共22小题）21．（2020•开福区校级二模）如图，抛物线y ＝mx 2+4mx ﹣12m （m ＜0）与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B的右边），顶点为C ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若△ABC 为等边三角形，点M （x 0，y 0）为抛物线y ＝mx 2+4mx ﹣12m （m ＜0）上任意一点，总有n −856≥16√33my 02+40√3y 0﹣298成立，求n 的最小值； （3）若m =−12，点P 为x 轴上一动点，若α＝∠CAB +∠CPB ，当tanα＝4时，求P 点的坐标． 22．（2020•开福区校级二模）定义：正实数a 、b 、c 满足其中一个数的平方等于另外两个数的乘积，则称实数a 、b 、c 为比例实数组．（1）若a ＝4，b ＝9，且实数a 、b 、c 为比例实数组．求c 的值；（2）四边形ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，BC ＞AD ，AB ⊥AC ，BD 平分∠ABC ，求证：△ABC 的三边长是比例实数组；（3）已知抛物线y ＝ax 2+（b +1）x +（b ﹣1）与直线y ＝x 相交于点为A 、B ，且A 、B 两点关于直线y ＝﹣cx +a ﹣1对称，当b 最大时，实数a 、b 、c 是否为比例实数组，请说明理由．23．（2020•雨花区校级二模）如图，点A 是直线y ＝kx （k ＞0）上一点，且在第一象限，点B ，C 分别是x ，y 正半轴上的点，且满足∠BAC ＝90°．（1）如图1，当k ＝1时，求证：AB ＝AC ；（2）如图2，记∠AOB ＝α，①根据所学，不难得到tanα＝ ，（用含k 的式子表示）；①若k =25，求kk kk 的值；（3）如图3，若k =12，连接BC ，OA ⊥BC ，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过O ，A ，B 三点，与直线BC 相交于点B ，D ，连接OD ，△OBD 的面积为8532，求抛物线的函数表达式．24．（2020•雨花区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+2ax +a +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．点P 为x 轴上的一个动点．（1）求点D 的坐标；（2）如图1，当点P 在线段AB 上运动时，过点P 作x 轴的垂线，分别交直线AD 、BD 于点E 、F ，试判断PE +PF 是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．（3）如图2，若点P 位于点A 的左侧，满足∠ADP ＝2∠APD 且AP =1+√32AB 时，求抛物线的解析式． 25．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y ＝ax 2﹣12ax +32a （a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）连接BC ，若∠ABC ＝30°，求a 的值．（2）如图2，已知M 为△ABC 的外心，试判断弦AB 的弦心距d 是否有最小值，若有，求出此时a 的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P （t ，t ）在第一象限，t 为常数．问：是否存在一点P ，使得∠APB 达到最大，若存在，求出此时∠APB 的正弦值，若不存在，也请说明理由．26．（2020•望城区模拟）武汉“新冠肺炎”发生以来，某医疗公司积极复工，加班加点生产医用防护服，为防控一线助力．以下是该公司以往的市场调查，发现该公司防护服的日销售量y （套）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，如下图所示，关于日销售利润w （元）和销售单价x （元）的几组对应值如下表：销售单价x （元）85 95 105 日销售利润w （元）875 1875 1875 （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价一成本单价））（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）；（2）根据函数图象和表格所提供的信息，填空：该公司生产的防护服的成本单价是 元，当销售单价x ＝ 元时，日销售利润w 最大，最大值是 元；（3）该公司复工以后，在政府部门的帮助下，原材料采购成本比以往有了下降，平均起来，每生产一套防护服，成本比以前下降5元．该公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，如果在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？27．（2020•长沙模拟）为构建“魅力雨花，和谐雨花，人文雨花”，规划在圭塘河上修建一座观光人行桥（如图1），此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形，观光人行桥的正规图如图2所示，已知桥面上三组拱桥都为相同的抛物线k =−116(k −k )2+k 的一部分，拱高（抛物线最高点到桥面的距离）为16米，三条抛物线依次与桥面AB 相交于点A ，C ，D ，B ．（1）求桥长AB ；（2）已知一组桥拱的造价为a 万元，桥面每米的平均造价为b 万元．若一组桥拱的造价为整个桥面造价的14，这座观光桥的总造价为504万元，求a ，b 的值．28．（2019•天心区校级一模）如图，抛物线y ＝ax 2+6x +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y ＝x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点N 为抛物线上动点，当∠NBA ＝∠OAC 时，求点N 的坐标，（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．29．（2019•开福区校级三模）定义：如图1，对于直线MN同侧的A、B两点，若在MN上的点P满足∠APM ＝∠BPN，则称P为A、B两点在MN上的反射点，P A与PB的和称为A、B两点的反射距离．（1）如图2，在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，P为A、E两点在直线BC上的反射点，求A、E两点的反射距离；（2）如图3，△ABC内接于①O，直径AB为4，∠CAB＝50°，点D为劣弧BC上一动点，点P为C、D两点在AB上的反射点，当C、D两点的反射距离最大时，求劣弧BD的长；（3）如图4，在平面直角坐标系中，抛物线y=−1kx2+2x（m＞0）与x轴正半轴交于点A，顶点为B，若点C为点A、D在OB上的反射点，同时点D为点C、B在OA上的反射点．①请判断线段AC和BD的位置关系，并给出证明；①求C、B两点的反射距离与A、D两点的反射距离的比值．30．（2019•天心区校级三模）如图①①，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点，按顺时针方向旋转180o到△C'DE的位置．（1）求经过三点O、A、C'的抛物线的解析式；（2）如图①，①G是以AB为直径的圆，过B的直线BF与①G相切，求直线BF的解析式；（3）抛物线上是否存在一点，使得S△AMF＝2S△OAB，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．31．（2019•长沙一模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝mx+n分别交x轴，y轴于A（4，0）、B（0，3）两点．（1）求直线y＝mx+n的解析式；（2）点C为直线AB上一动点，以C为顶点的抛物线y＝x2+bx+c与直线AB的另一交点为D（如图1），连OC、OD，在点C的运动过程中△COD的面积S是否变化，若变化，求出S的范围；若不变，求出S 的值；（3）平移（2）中的抛物线，使顶点为（0，﹣4），抛物线与x轴的正半轴交于点G（如图2），M，N为抛物线上两点，若以MN为直径的圆经过点G，求直线MN经过的定点Q的坐标．32．（2019•雨花区校级三模）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；①若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝3，则BC＝；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于①O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为15√3，若二次函数y＝ax2+bx+c （a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．33．（2019•岳麓区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点，且OB＝3OA，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．（1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图2，直线y=−12k+n与抛物线交于G，H两点，直线AH，AG分别交y轴负半轴于M，N两点，求OM+ON的值；（3）如图1，点P在线段DE上，作等腰△BPQ，使得PB＝PQ，且点Q落在直线CD上，若满足条件的点Q有且只有一个，求点P的坐标．34．（2019•岳麓区校级二模）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足AC条件的长；（2）如图，点A在以BC为直径的圆上，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠ADC＝90°．①求证：△ABC为比例三角形；①求kkkk的值．（3）若以点C为顶点的抛物线y＝mx2﹣4mx﹣12m（m＜0）与x轴交于A、B两点，△ABC是比例三角形，若点M（x0，y0）为该抛物线上任意一点，总有n−√3≤−16√33my02﹣40√3y0+298成立，求实数n的最大值．35．（2019•雨花区校级模拟）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A为（﹣1，0），与y轴负半轴交于点C（0，﹣2），其对称轴是直线x=32．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）圆O′经过点△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交圆O′于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积；（3）在（2）的条件下，二次函数y＝ax2+bx+c的图象上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CAD？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．36．（2019•雨花区校级模拟）OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA ＝10，OC ＝6．（1）如图，在AB 取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在轴上，记作B ′点，求B ′点的坐标；（2）求折痕CM 所在直线的解析式；（3）作痕B ′G ∥AB 交CM 于点G ，若抛物线y =16x 2+m 过点G ，求抛物线的解析式； （4）判断以原点O 圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点坐标．37．（2018•长沙模拟）如图所示，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一交点，点D 为y 轴上一点，且DC ＝DE ，求出点D 的坐标；（3）在x 轴下方，当12k ≤k ≤2k +13时，抛物线y 随x 的增大而增大，求出此时满足条件的整数a 的值．38．（2018•长沙模拟）已知y 是x 的函数，若函数图象上存在一点P （a ，b ），满足b ﹣a ＝2则称点P 为函数图象上“梦幻点”．例如：直线y ＝2x +1上存在的“梦幻点”P （1，3） （1）求直线y =12x +3上的“梦幻点”的坐标；（2）在双曲线y =k k （k ≥﹣1且k ≠0）上是否存在梦幻点？若存在，请求出梦幻点的坐标（用k 表示）若不存在，请说明理由．（3）若二次函数y =14x 2+（m ﹣t +1）x +n +t 的图象上存在唯一的梦幻点，且﹣2≤m ≤3时，n 的最小值为t ，求t 的值． 39．（2018•雨花区校级一模）如图，已知直线y ＝kx 与抛物线y ＝mx 2+n 交于点A 、C ． （1）若m ＝﹣1，且点A 坐标为A （1，2），求抛物线解析式与点C 坐标； （2）如图1，若k ＝1，将直线y ＝x 沿着x 轴翻折，在第四象限交抛物线于点P ，若kk kk=12，求mn 的值；（3）如图2，已知抛物线与直线解析式分别为y =−√33k 2+4√33与y =√3x ，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （t ，0）是x 轴正半轴上的动点，记S △AEB ＝S 1，S △EOD ＝S 2，OE ＝s ，OD ＝t ，当满足∠BAE ＝∠BED ＝∠AOD 的E 点有两个时，求S 1•S 2﹣（k4S 1+k 22k）+√3的最小值，并求出此时E 的坐标．40．（2018•开福区校级三模）若在某区间内某函数的图象均在x 轴或x 轴的上方，则该区间称为这个函数的正能量区间．如当x ≥12时，函数y ＝2x ﹣1的图象均在x 轴上或x 轴的上方，则x ≥12叫做函数y ＝2x ﹣1的正能量区间．（1）求反比例函数k =k k 的正能量区间；（2）经过点（2，3）的一次函数的正能量区间为x ≥1，求一次函数的解析式； （3）如果抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （x 1，0）和点B （x 2，0），那么我们把A 、B 两点之间的距离叫做抛物线在x 轴上的“截距”，设m ，n 为正整数，且m ≠2，抛物线y ＝x 2+（3﹣mt ）x ﹣3mt 在x 轴上的“截距”为d 1，抛物线y ＝﹣x 2+（2t ﹣n ）x +2nt 在x 轴上的“截距”为d 2，k =k 12−k 22，试表示出s 与t 之间的函数关系式，若全体实数为该函数的正能量区间，求m ，n 的值．41．（2018•开福区校级三模）如图，已知抛物线k =14k 2−14(k +1)k +k4（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）；（2）若点P 在第一象限，使得△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线OP 的解析式； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．42．（2018•雨花区校级一模）定义：若同一函数图象上存在A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点，满足y2﹣y1＝y3﹣y2，则称ABC三点为等差点，称B为AC的等差中心．（1）A（2，y1）、B（3，y2）、C（4，y3）是否为一次函数y＝kx+2的图象上以B为等差中心的等差点？判断并说明理由；（2）若双曲线y=|k|k上存在以B为等差中心A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）的三点，其中A（x1，y1）、C（x3，y3）为反比例函数与一次函数y＝nx+3的交点，若B到原点的距离为√3，求m的值与n的取值范围；（3）若直线y＝x与抛物线y＝ax2﹣2ax+b（b＞2）交于A（x1，y1）、C（x3，y3），且满足0＜x2＜x3＜1k，点B（x2，y2）在直线y＝x上，且为A、C的等差中心．①证明：2＜x2＜1k①设k=−k22+6k(1k1+1k3)+2015，当s能取得最大值时，求s的最大值的取值范围．湖南中考数学复习各地区2018-2020年模拟试题分类（长沙专版）（5）——二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共19小题） 1．【答案】C【解答】解：∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax +5＝a （x ﹣1）2+5﹣a ， ∴顶点A （1，5﹣a ），∵抛物线M 与抛物线L 关于B （2，0）成中心对称，∴抛物线M 的开口大小相同，方向相反，顶点为（3，a ﹣5） ∴M 的解析式是：y ＝﹣a （x ﹣3）2+a ﹣5， ∵抛物线M 经过点A ，∴5﹣a ＝﹣4a +a ﹣5，解得a ＝﹣5， 故选：C ． 2．【答案】D【解答】抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣b 的顶点坐标为（﹣1，﹣a ﹣b ），∵点（﹣1，﹣a ﹣b ）关于点（0，n 2）的对称点为（1，a +b +2n 2）， ∴抛物线y n 的顶点坐标A n 为（1，a +b +2n 2），同理：A n +1（1，a +b +2（n +1）2），∴A n A n +1＝a +b +2（n +1）2﹣（a +b +2n 2）＝4n +2． ∴A 2020A 2021的长为：4×2020+2＝8082， 故选：D ． 3．【答案】C 【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a ＞0，对称轴在y 轴的左侧，则b ＞0，交y 轴的负半轴，则c ＜0， ∴abc ＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a ），∴−k 2k =−2，4kk −k 24k=−9a ，∴b ＝4a ，c ＝﹣5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+4ax ﹣5a ，∴4a +2b +c ＝4a +8a ﹣5a ＝7a ＞0，所以①结论正确， 9a ﹣b +c ＝9a ﹣4a ﹣5a ＝0，故①结论正确， ∵抛物线y ＝ax 2+4ax ﹣5a 交x 轴于（﹣5，0），（1，0）， ∴若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1，正确，故结论①正确， 若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 1，x 2，则k 1+k 22=−2，可得x 1+x 2＝﹣4，设方程ax 2+bx +c ＝﹣1的两根分别为x 3，x 4，则k 3+k 42=−2，可得x 3+x 4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论①正确， 故选：C ． 4．【答案】B【解答】解：①∵a 2﹣2|a |﹣3＝（﹣a ）2﹣2|﹣a |﹣3， ∴y ＝x 2﹣2|x |﹣3的图象关于y 轴对称， 故①正确；①∵y ＝x 2﹣2|x |﹣3＝（|x |﹣1）2﹣4，∴当|x |＝1即x ＝±1时，y 有最小值为﹣4， 故①正确；①当m ＝﹣4时，方程x 2﹣2|x |﹣3＝m 为x 2﹣2|x |﹣3＝﹣4，可化为（|x |﹣1）2＝0，解得x ＝±1，有两个不相等的实数根，此时m ＝﹣4＜﹣3， 故①错误；①∵直线y ＝x +b 与y ＝x 2﹣2|x |﹣3的图象有三个交点，∴方程x 2﹣2|x |﹣3＝x +b ，即x 2﹣2|x |﹣x ﹣3﹣b ＝0有3个解，∴方程x 2﹣3x ﹣3﹣b ＝0（x ≥0）与方程x 2+x ﹣3﹣b ＝0（x ＜0）一共有3个解，∴当方程x 2﹣3x ﹣3﹣b ＝0（x ≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x 2+x ﹣3﹣b ＝0（x ＜0）有两个相等的负数根；或当方程x 2﹣3x ﹣3﹣b ＝0（x ≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x 2+x ﹣3﹣b ＝0（x ＜0）有一个负数根；或方程x 2﹣3x ﹣3﹣b ＝0（x ≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x 2+x ﹣3﹣b ＝0（x ＜0）有两个不相等的负数根．即{ △1=9+12+4k ＞0k 1⋅k 2=−3−k ≥0△2=1+12+4k =0k 3⋅k 4=−3−k ＞0或{ △1=9+12+4k ＞0k 1⋅k 2=−3−k ≥0△2=1+12+4k ＞0k 3⋅k 4=−3−k ≤0或{△1=9+12+4k ≥0k 1⋅k 2=−3−k ≤0△2=1+12+4k ≥0k 3⋅k 4=−3−k ≥0，解得，b =−134，或b ＝﹣3， ∴当b =−134或b ＝﹣3时，直线y ＝x +b 与y ＝x 2﹣2|x |﹣3的图象有三个交点， 故①错误； 故选：B ． 5．【答案】C【解答】解：联立方程组{k =kk 2+kk +kk =k (k −1)−k 24，∴ax 2+bx +c ＝k （x ﹣1）−14k 2，整理得，ax 2+（b ﹣k ）x +c +k +14k 2＝0，∵无论k 为何实数，直线与抛物线都只有一个交点， ∴△＝（b ﹣k ）2﹣4a （c +k +14k 2）＝（1﹣a ）k 2﹣2k （2a +b ）+b 2﹣4ac ＝0，可得1﹣a ＝0，2a +b ＝0，b 2﹣4ac ＝0， 解得a ＝1，b ＝﹣2，c ＝1，∴抛物线的解析式是y ＝x 2﹣2x +1， 故选：C ． 6．【答案】B 【解答】解：由表格数据可知抛物线的对称轴为x =−k 2k =2+42=3， ∴−kk =6，∴x ＝1与x ＝5时的函数值相等， ∴x ＝1时，y ＝6，即a +b +c ＝6， ∴（a +b +c ）（−k +√k 2−4kk2k+−k −√k 2−4kk2k）＝6×（−kk ）＝6×6＝36．故选：B ．7．【答案】B【解答】解：当x ＝0时，c ＝﹣2， 当x ＝1时，a +b ﹣2＝﹣2， ∴a +b ＝0， ∴b ＝﹣a ， ∴ab ＜0， ∴abc ＞0， ①正确；∵y ＝ax 2+bx +cx ＝ax 2﹣ax ﹣2，∴x =12是对称轴，∵x ＝﹣2时y ＝4a +2a ﹣2＝6a ﹣2＝t ， ∴x ＝3时，y ＝9a ﹣3a ﹣2＝6a ﹣2＝t ，∴﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的两个根； ①正确；∵m ＝a +a ﹣2，n ＝4a ﹣2a ﹣2， ∴m ＝n ＝2a ﹣2， ∴m +n ＝4a ﹣4， ∵当x =−12时，y ＞0， ∴a ＞83，∴m +n ＞203， ①错误； 故选：B ． 8．【答案】D【解答】解：二次函数y ＝ax 2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y ＝a （x ﹣3）2﹣2，当y ＝0时，ax 2﹣6ax +9a ﹣2＝0，设方程ax 2﹣6ax +9a ﹣2＝0的两个根为x 1，x 2， 则x 1+x 2＝6，x 1x 2=9k −2k ，∵平移后的函数截x 轴所得的线段长为4， ∴|x 1﹣x 2|＝4，∴（x 1﹣x 2）2＝16，∴（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝16，∴36﹣4×9k −2k =16， 解得，a =12，故选：D ． 9．【答案】C【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2）， ∴{k −k +k =2k k +k +k =−2k ①﹣①，得2b ＝﹣4，解得b ＝﹣2，故①b ＝﹣2正确； ①+①，得2（a +c ）＝0， ∴a +c ＝0， ∵a ＞0，∴c ＝﹣a ＜0，故①正确； 设过点M （﹣1，2），点C （0，c ）的直线的解析式为y ＝kx +m ∴{−k +k =2k =k， 解得，{k =k −2k =k∴y ＝（c ﹣2）x +c ， ∵c ＝﹣a ，∴y ＝（﹣a ﹣2）x ﹣a ， 当y ＝0时，x =−kk +2，将x =−k k +2代入y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，得y =−2k 2(k +2)2，令−2k 2(k +2)2=0，得a ＝0，∵a ＞0，∴a ＝0不符题意，故①错误；当a ＝1时，二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣1，∴当y ＝0时，设x 2﹣2x ﹣1＝0的两根为x 1，x 2， ∴k 1⋅k 2=−11=−1， ∴OA •OB ＝|x 1|•|x 2|＝|﹣1|＝1＝（﹣1）2＝OC 2，故①正确； 故选：C ． 10．【答案】C【解答】解：抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣5＝（x ﹣2）2﹣9的顶点坐标为（2，﹣9），把点（2，﹣9）向右平移1个单位后所得对应点的坐标为（3，﹣9），所以平移后的抛物线解析式为y ＝（x ﹣3）2﹣9，即y ＝x 2﹣6x ． 故选：C ． 11．【答案】C【解答】解：①由题意可知：对称轴x ＝1， ∴−k2k =1，∴2a +b ＝0，故①正确； ①当x ＝﹣3时，y ＜0，∴y ＝9a ﹣3b +c ＜0，故①错误；①（72，y 3）关于直线x ＝1的对称点为（−32，y 3）， 由图可知：x ＜1时，y 随着x 的增大而减小， 由于﹣3＜−32＜−12，∴y 1＜y 3＜y 2，故①正确； ①设y ＝ax 2+bx +c ，y ＝﹣3，由于图象可知：直线y ＝﹣3与抛物线y ＝ax 2+bx +c 有两个交点， ∴方程ax 2+bx +c ＝﹣3（a ≠0）的两根为x 1和x 2， ∴x 1＜﹣1＜3＜x 2，故①正确；①当x ＝1时，y ＝a +b +c ，此时a +b +c 为最大值， 当x ＝m 时，y ＝am 2+bm +c ， ∴am 2+bm +c ≤a +b +c ，即m （am +b ）﹣b ≤a ，故①错误； 故选：C ． 12．【答案】D【解答】解：由已知可得y ＝mx 2﹣6mx +9m +2＝m （x ﹣3）2+2， ∴函数的顶点是（3，2）， ∴点（3，2），（3，1），（3，0）三点必在抛物线在A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）的区域内，又∵在此区域内有7个整点， ∴必有点（2，0），（4，0），（2，1），（4，1）， ∴当点（2，1）在边界上时，m ＝﹣1， ∴m ≥﹣1y ＝m （x ﹣3）2+2与x 轴的交点A 的横坐标1＜x A ＜2， ∴﹣2＜m ＜−12，综上所述，﹣1≤m ＜−12．故选：D ． 13．【答案】D【解答】解：由抛物线y ＝a （x +2m ）2+m （a ≠0，a ，m 为常数）可知：顶点（﹣2m ，m ）， A ．当x ＝﹣2m 时，y ＝﹣m ≠m ， B ．当x ＝﹣2m 时，y ＝﹣4m ≠m ； C ．当x ＝﹣2m 时，y =−1k ≠m ； D ．当x ＝﹣2m 时，y ＝m ， 故选：D ．14．【答案】C【解答】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 对称轴x =−k2k＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确； ①由对称轴可知：−k2k =12， ∴b +a ＝0，故①正确；①（2，0）关于直线x =12的对称点为（﹣1，0）， ∴当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＝0，故①错误； ①由于a +b ＝0，a ﹣b +c ＝0， ∴c ＝﹣2a ，b ＝﹣a∴8a +7b +2c ＝8a ﹣7a ﹣4a ＝﹣3a ＞0，故①正确； 故选：C ． 15．【答案】A【解答】解：①∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2）， ∴{2=k −k +k −2=k +k +k， 两式相加解得a +c ＝0，两式相减解得b ＝﹣2， 故①①正确；由①可知a +c ＝0，即c ＝﹣a ，∴当a ＝1时，c ＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣1 当y ＝0时，0＝x 2﹣2x +c ，利用根与系数的关系可得 x 1•x 2＝c ， 即OA •OB ＝|c |，当x ＝0时，y ＝c ，即OC ＝|c |＝1＝OC 2， ∴若a ＝1，则OA •OB ＝OC 2， 故①正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴b 2﹣4ac ＝4+4a 2＞0，∴此二次函数图象与x 轴必有两个交点， 设抛物线于x 轴的交点为（x 1，0），（x 2，0）， 由根与系数的关系可得x 1+x 2=−kk ，x 1•x 2=kk，∵b ＝﹣2，c ＝﹣a ， ∴x 1+x 2=2k，x 1•x 2＝﹣1， ∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=2k 2+4＞4， ∴|x 1﹣x 2|＞2，∴函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2， 故①正确， 故选：A ． 16．【答案】B【解答】解：因为a ＝2＞0，所以二次函数y ＝2（x ﹣3）2+4的最小值为4， 故选：B ． 17．【答案】C【解答】解：如图：连接MO ，NO ，作MD ⊥AB ，NE ⊥AB设M （m ，−12m +a ），N （n ，−12n +a ）∵y =−12x +a 与抛物线y ＝x 2+2x ﹣3交于M 、N 两点∴−12x +a ＝x 2+2x ﹣3即x 2+52x ﹣3﹣a ＝0∴m +n =−52，mn ＝﹣3﹣a△=254+12+4a ＞0即a ＞−7316若∠MON ＝90°，则∠MOD +∠NOE ＝90°且∠MOD +∠DMO ＝90° ∴∠NOE ＝∠DMO 且∠MDO ＝∠NEB ∴△MDO ∽△NOE ∴−k−12k +k =−12k +k k∴−54mn ＝a 2−12a （m +n ） ∴a 2=154 ∴a ＝±√152∴若∠MON ＜90°则a ＞√152或−7316＜a ＜−√152 故选：C ． 18．【答案】D【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点）， ∴a ＞0，−k2k=1，c ＜0， ∴b ＝﹣2a ＜0，∴abc ＞0，结论①错误；①∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x ＝1， ∴二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴9a +3b +c ＝0，结论①正确；①∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点）， ∴抛物线顶点纵坐标4kk −k 24k＜−1，∵a ＞0，∴4ac ﹣b 2＜﹣4a ＜2a ，结论①正确； ①∵抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴−k2k =1，b ＝﹣2a ，结论①错误． 综上所述，正确的结论有：①①． 故选：D ．19．【答案】A【解答】解：观察图象可知，AD ＝BC ＝5×2＝10，BE ＝1×10＝10，ED ＝4×1＝4，AE ＝10﹣4＝6， ∴BE ＝BC ，故①正确，如图1中，当t ＝6秒时，点P 在BE 上，点Q 静止于点C 处，在△ABE 与△PQB 中， {kk =kk =6k1=k2kk =kk， ∴△ABE ≌△PQB （SAS ），故①正确，在Rt △ABE 中，AB =√kk 2−kk 2=√102−62=8， ∴BE +DE +DC ＝10+4+8＝22， ∴点P 运动了22秒，故①错误， 当t =272秒时，点P 在线段DE 上，点Q 与点C 重合，此时∠PQB ≠90°， ∴△ABE 与△QBP 不相似，故①错误． ∴①①正确， 故选：A ．二．填空题（共1小题） 20．【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a ＞0，对称轴在y 轴的左侧，则b ＞0，交y 轴的负半轴，则c ＜0， ∴abc ＜0，所以①结论正确；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a ），∴−k2k =−2，4kk −k 24k=−9a ，∴b ＝4a ，c ＝﹣5a ，∴5a ﹣b +c ＝5a ﹣4a ﹣5a ＝﹣4a ＜0， 故①结论正确；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c ＝ax 2+4ax ﹣5a ， 当y ＝0时，ax 2+4ax ﹣5a ＝0，即a （x +5）（x ﹣1）＝0， ∴x ＝﹣5或1，∴方程ax 2+bx +c ＝0的两个根x 1＝﹣5，x 2＝1， 故结论①正确；若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 1，x 2， 则k 1+k 22=−2，可得x 1+x 2＝﹣4， 设方程ax 2+bx +c ＝﹣1的两根分别为x 3，x 4， 则k 3+k 42=−2，可得x 3+x 4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8， 故结论①错误， 故答案为①①①．三．解答题（共22小题） 21．【答案】（1）点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（﹣6，0）；（2）n 的最小值为256；（3）点P 的坐标为（34，0）．【解答】解：（1）令y ＝mx 2+4mx ﹣12m ＝0，解得x ＝2或﹣6， 故点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（﹣6，0）；（2）由点AB 的坐标知，AB ＝8，函数的对称轴为x ＝﹣2， 当x ＝﹣2时，y ＝mx 2+4mx ﹣12m ＝﹣16m ，∵△ABC 为等边三角形，则y C ＝AC sin ∠CAB ＝AB sin60°＝8×√32=4√3，故点C 的坐标为（﹣2，4√3）， 则﹣16m ＝4√3，解得m =−√34，则抛物线的最大值为4√3，即y 0≤4√3， 设t =16√33my 02+40√3y 0﹣298， 则t ＝﹣4y 02+40√3y 0+2＝﹣4（y 0﹣5√3）2﹣298≥﹣4（4√3−5√3）2+2＝﹣10， 故有n −856≥−10，解得n ≥256， 故n 的最小值为256；（3）连接BC 并延长交y 轴于点M ，设直线CP 与y 轴交于点H ，过点H 作HK ⊥CM 于点K ，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为y ＝2x +12，则点M （0，12）， 则tan ∠CBA ＝2，则tan ∠CMH =12，由点C 、M 的坐标得，CM =√(−2)2+(8−12)2=√20， 根据函数的对称性，BC ＝CA ，则∠ABC ＝CAB ， 则α＝∠CAB +∠CPB ＝∠CBA +∠CPB ＝∠MCH ， 在△CHM 中，tan ∠CMH =12，tan ∠MCH ＝tanα＝4，则设HK ＝4x ，则CK ＝x ，MK ＝8x ，则CM ＝CK +KM ＝x +8x ＝9x =√20，解得x =√209，HM =√kk 2+kk 2=√80x =409，则OH ＝12−409=689，故点H （0，689），由点C 、H 的坐标得，直线CH 的表达式为y =−29x +689， 令y ＝0，则x ＝34，故点P 的坐标为（34，0）．22．【答案】（1）c =169或c =814或c ＝6；（2）证明见解析过程；（3）实数a 、b 、c 是比例实数组，理由见解析过程．【解答】解：（1）∵a ＝4，b ＝9，且实数a 、b 、c 为比例实数组，∴a 2＝bc 或b 2＝ac 或c 2＝ab ，∵a ＝4，b ＝9，∴c =169或c =814或c ＝6；（2）∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠ADB ＝∠ABD ，∴AD ＝AB ，∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，又∵∠ADC ＝∠CAB ＝90°，∴△ADC ∽△CAB ，∴kk kk =kk kk ，∴AC 2＝DA •BC ＝AB •BC ，∴△ABC 的三边长是比例实数组；（3）实数a 、b 、c 是比例实数组，理由如下：∵抛物线y ＝ax 2+（b +1）x +（b ﹣1）与直线y ＝x 相交于点为A 、B ，且A 、B 两点关于直线y ＝﹣cx +a ﹣1对称，∴直线y ＝﹣cx +a ﹣1与直线y ＝x 互相垂直，如图：设直线y ＝﹣cx +a ﹣1与x 轴交于E 点，与y 轴交于点F ，与直线y ＝x 交于点H ，∴点F （0，a ﹣1），∴OF ＝a ﹣1，∵直线y ＝x 与x 轴所成锐角∠HOE ＝45°，EF ⊥OH ，∴∠FEO ＝45°，∴∠EFO ＝∠FEO ＝45°，∴OE ＝OF ＝a ﹣1，∴点E （a ﹣1，0），∴0＝﹣c （a ﹣1）+a ﹣1，∴c ＝1，∵点A 、B 在一次函数y ＝x 上，A 、B 两点关于直线y ＝﹣x +a ﹣1对称，∴x A +x B ＝a ﹣1，令ax 02+（b +1）x 0+（b ﹣1）＝x 0，则x A +x B =−k k ， ∴a ﹣1=−k k ，∴b ＝﹣a 2+a ＝﹣（a −12）2+14，∴当a =12时，b 有最大值为14，∵（12）2=14×1，∴a 2＝b •c ，∴实数a 、b 、c 是比例实数组．23．【答案】（1）见解答；（2）①k ，①25； （3）y =2√23x 2−56x ．【解答】解：（1）如图1，过点A 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点M 、N ，当k ＝1时，直线OA 的表达式为y ＝x ，则AM ＝AN ，∵∠CAN +∠NAB ＝90°，∠NAB +∠BAM ＝90°，∴∠CAN ＝∠BAM ，∴Rt △ANC ≌△Rt △AMB ，∴AC ＝AB ；（2）①根据（1）知，tanα＝k ，故答案为k ；①如图1，过点A 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点M 、N ，同理可得：∠CAN ＝∠BAM ，∴Rt △ANC ∽Rt △AMB ，∴kk kk =kk kk =kk kk =tan ∠AOB ＝k =25， 故kk kk 的值为25；（3）设直线OA 交BC 于点E ，连接AB ，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，在Rt △BOC 中，∵∠EOB +∠COE ＝90°，∠COE +∠ECO ＝90°，∴∠ECO ＝∠EOB ＝α，同理∠ACE ＝∠EAB ，∵∠COB ＝∠CAB ＝90°，∴C 、O 、A 、B 四点共圆，则BC 是圆的直径，故∠OCB ＝∠OAB ＝α，∴∠AOB ＝∠OAB ＝α，∴OB ＝AB ，∴△ACO 为等腰三角形，∵AB ＝OB ，BC ＝BC ，∴Rt △CBO ≌Rt △CBA （HL ），∴CO ＝CA ，而OB ＝AB ，故BC ⊥OA ，∵tanα＝k =12，则sinα=5，cosα=5， 设点B （m ，0）（m ＞0）， 在Rt △BCE 中，OE ＝OB ＝m ，则OE ＝OB cosα=5，则OA ＝2OE =5， 在Rt △AOM 中，AM ＝OA sinα=4k5， 同理可得：OM =8k 5，故点A （4k 5，8k 5）， ∵tanα＝k =12=tan ∠AOB ，则tan ∠EBO ＝2，故设直线BD 的表达式为y ＝﹣2（x ﹣m ）①，设抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝ax （x ﹣m ）①，将点A 的坐标代入上式得：8k 5=a （4k 5）（4k 5−m ）①， 联立①①并整理得：ax 2+（2﹣am ）x ﹣2m ＝0， 则x B x D =−2k k ，即m •x D =−2kk ，解得x D =−2k ，当x =−2k 时，y D ＝﹣2（x ﹣m ）=4k +2m ， 则△OBD 的面积=12×OB ×y D =12×m ×（4k +2m ）=8532①， 联立①①并解得{k =2√23k =5√28， 故抛物线的表达式为y =2√23x 2−56x ．24．【答案】（1）点D （﹣1，2）；（2）是定值，理由见解析过程；（3）抛物线解析式为y =−12x 2﹣x +32． 【解答】解：（1）∵y ＝ax 2+2ax +a +2＝a （x +1）2+2，∴点D （﹣1，2）；（2）是定值，理由如下：如图1，过点D 作DH ⊥AB 于H ，∴AH ＝BH =12AB ，DH ＝2， ∴∠DAB ＝∠DBA ，∵tan ∠EAP =kk kk ，tan ∠FBP =kk kk ， ∴EP ＝AP •tan ∠EAP ，PF ＝BP •tan ∠FBP ，∵∠EAP ＝∠FBP ，∴tan ∠DBH ＝tan ∠EAP ＝tan ∠FBP =kk kk =212kk =4kk ， ∴kk kk =kk kk =4kk ， ∴kk +kk kk +kk =kk +kk kk =4kk ，∴PF +PF ＝4；（3）如图2，作AP 的垂直平分线，交AP 于Q ，交PD 于M ，过点D 作DH ⊥AB ，∴PM ＝MA ，PQ ＝AQ ，∴∠MP A ＝∠MAP ，∴∠DMA ＝∠MPQ +∠MAP ＝2∠MP A ，∵∠ADP ＝2∠APD ，∴∠ADP ＝∠AMD ，∴AM ＝AD ＝PM ，∵∠DPH ＝∠MPQ ，∠DHP ＝∠MQP ＝90°，∴△PMQ ∽△PDH ，∴kk kk =kk kk ，∵AP =1+√32AB ，AH ＝BH ，PQ ＝QA ， ∴PQ ＝QA =1+√32AH ， ∴PH ＝（2+√3）AH ， ∴1+√32kk (2+√3)kk =kk2，∴MQ =√3−1，∵MQ 2+AQ 2＝AM 2＝AD 2＝AH 2+DH 2，∴（√3−1）2+（1+√32AH ）2＝AH 2+4，∴AH ＝2，∴点A （﹣3，0），∵抛物线y ＝ax 2+2ax +a +2过点A ，∴0＝9a ﹣6a +a +2，∴a =−12， ∴抛物线解析式为y =−12x 2﹣x +32．25．【答案】（1）∠APB 达到最大； （2）当a =√28时，有k 最小=4√2；（3）√22． 【解答】解：（1）连接BC ，令y ＝0，得y ＝ax 2﹣12ax +32a ＝0，解得，x ＝4或8，∴A （4，0），B （8，0），令x ＝0，得y ＝ax 2﹣12ax +32a ＝32a ，∴C （0，32a ）， 又∠ABC ＝30°， ∴tan ∠ABC =kk kk =32k 8=√33，解得，a =√312； （2）过M 点作MH ⊥AB 于点H ，连接MA 、MC ，如图2，。