3.1 证明反射定律符合费马原理。

证明：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n 1和n 2。

光线通过第一介质中指定的A 点后到达同一介质中指定的B 点。

为了确定实际光线的路径，通过A,B 两点作平面垂直于界面，'OO 是它们的交线，则实际光线在界面上的反射点C 就可由费马原理来确定，如下图所示。

(1)反证法：如果有一点'C 位于线外，则对应于'C ，必可在'OO 线上找到它的垂足''C .由于''AC 'AC >,''BC 'BC >,故光线B AC'总是大于光程B ''AC 而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平面内得证。

(2)在图中建立坐XOY 坐标系，则指定点A,B 的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），未知点C 的坐标为（x ，0）。

C 点是在'A 、'B 之间的，光程必小于C 点在''B A 以外的相应光程，即21v x x <<，于是光程ACB 为y x x n y x x n CB n AC n ACB n 2211221221111)()(+-++-=+=根据费马原理，它应取极小值，即0)(1=n dxd0)sin (sin )()()()()()(21112222211212111=-='-'=+---+--=i i n B C C A n y x x x x n y x x x x n ACB n dx d 所以当11'i i =，取的是极值，符合费马原理。

3.2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点发出并会聚倒像点的所有光线的光程都相等。

由此导出薄透镜的物象公式。

解：略3.3 眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d 为30cm 。

求物PQ 的像与物体PQ 之间的距离2d 为多少？解：玻璃板前表面有折射定律得1'sin sin 21n i i =，后表面有'1'sin 'sin 12n i i =，所以有1212sin sin 'sin 'sin i i i i =显然对于平板玻璃来说22'i i =，因此，由1212sin sin 'sin 'sin i i i i =得11'i i =，说明出射光线A 2E//QA 1，平板玻璃厚度为d 出射光线对入社光线的侧移量 )sin(2121i i A A l -=而221cos i dA A =，所以有)sin cos cos (sin cos )sin(cos 21212212i i i i i d i i i d l -=-= 2211sin cos cos sin i i i d i d -=)sin sin cos cos 1(sin 12211i i i i i d -=而'1sin sin 12n i i =，将其代入上式得 )sin 1cos '11(sin )cos cos '11(sin 2211211i i n i d i i n i d l --=-=)sin )'1(1cos '11(sin 12211i n i n i d --=)sin 'cos 1(sin 12211i n i i d --=则PQ 于P ’Q ’之间的距离为)sin 'cos 1(sin 1)sin 'cos 1(sin sin 122111221112i n i d i i n i i d i l d --=--==2d 的大小不仅与玻璃折射率和玻璃厚度有关，而且与物体发出的光线入射玻璃的入射角有关，入射角不同，2d 不同。

当入射角1i =0时，即垂直入射，则有cm n d d 10)5.111(30)'11(2=-⨯=-=3.4 玻璃棱镜的折射棱角A 为60度, 对某一波长的光其折射率n 为1.6。

计算: (1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角。

解：(1)由最小偏向角测折射率的公式2sin 2sin 0A A n +=θ，得 2sin 2sin 0A An +=θ，所以A An -=-)2sin (sin 210θ︒-︒⨯=-60)260sin 6.1(sin 210θ'1646608.0sin 210︒=︒-=-θ (2)此时的入射角'853260'16462010︒=︒+︒=+=A i θ(3)有折射定律得ni i 1'sin 'sin 102= 6.1190sin 6.11'sin 1'sin 102=︒==i n i'41386.11sin '12︒==-i 而'1921'413860'22︒=︒-︒=-=i A i又因为n i i 1sin sin 102=，得210sin sin i n i =所以'3435)'1921sin 6.1(sin )sin (sin 12110︒=︒⨯==--i n i3.5 题3.5图表示一种恒偏向棱角镜, 它相当于一个 906030--棱镜与一个 904545--度度棱镜按图示方式组合在一起。

白光沿i 方向入射，旋转棱镜改变1θ，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r 。

求证：如果2sin 1n=θ，则21θθ=，且光束i 与r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）。

解：(1)因为21sin sin i n =θ，若2sin 1n =θ，则21sin 2=i ，得︒=302i 有图中几何关系易得︒==30'22i i再有折射定律得230sin 'sin sin 22nn i n =︒==θ 得12θθ=，证毕。

(2)又因为︒=+9011αθ，︒=+9022αθ 而12θθ=，所以21αα= 即得i r ⊥。

3.6 高5cm 的物体距凹面镜定点12cm 。

凹面镜的焦距为10cm ，求像的位置及高度，并作出光路图。

解：由球面反射物象公式'11'1f s s =+ 由题意可知y=5cm ，s=-12cm ，102'-==rf cm ，代入得101121'1-=-+s 's =-60cm又由'''n ns s y y ∙==β1112605'-∙--=y 即25'-=y cm3.7 一个5cm 高的物体放在球面镜前10cm 处成1cm 高的虚像，求：(1)此镜的曲率半径；(2)此镜是凸面镜还是凹面镜？解：由放大倍数'''n n s s y y ∙==β 1110'51-⨯-=s 得2'=s cm又因为rs s 21'1=+得r210121=-+，即5=r cm (2) 因为5=r cm>0，故为凸面镜。

P160，NO3.8解：由球面反射物象公式'11'1f s s =+ 4011011'1'1--=-=s f s 8'=s cm所以2424082)('=+=-+=s s x cmP160，NO3.9解：由习题3.3可知，放入玻璃板得效果是折射光线得反向延长线交点P ’再P 点得右边距离)sin 'cos 1(1221i n i d l --=，近似为)11(nd l -=即3.10欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率应为多少?解：由球面折射物象公式rn n s n s n -=-''' 由题意可知，∞=s ，s ’=2r ，n=1，所以 r n r n 1'12'-=∞- 得2'=n3.11有一折射率为1.5，半径为4 cm 的玻璃球，物体在距球表面6cm 处，求：(1)物所成的像到球心之间的距离；(2)像的横向放大率。

解：(1)已知：对前一折射面，s=-6cm ，r=4cm ，5.1'=n ，n=1由球面折射物象公式)'(1''n n rs n s n -=-得)15.1(4161'5.1-=--s 计算得36'-=s cm对后一折射面s=-36-8=-44cm ，r=-4cm ，1'=n ，n=1.5由球面折射物象公式)'(1''n n rs n s n -=-得)5.11(41441'1--=--s 计算得11'=s cm ，所以物到球心之间的距离为15cm(2)横向放大率：对前一球面6636''1=--===s s y y β 对后一球面414411''2-=-===s s y y β 所以总的放大率23)41(621-=-⨯==βββ，即放大倒立实像。

3.12一个折射率为1.53、直径为20cm 的玻璃球内有两个小气泡。

看上去一个恰好在球心，另一个从离观察者最近的方向看去，好像在表面与球心连线的中点。

求两气泡的实际位置。

解：r n n s n s n -=-''' r n n s n --=''s 'n （1）即r '=s所以rr n n r s n n''n =--= 即r s =，仍在原来球心处，物像重合。

（2）2r'=s所以r nn r n n r r n n r s n +=--=--='''2n '2/'n即)'(2'n n ndn n nr s +=+=(d 为球的直径) 05.6)53.11(2102053.12=+⨯⨯⨯=-s cm离球心的距离95.305.610=-=l cm 。

3.13 直径为1 m 的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。

解：由球面折射物象公式)'(1''n n rs n s n -=- s=-0.5m 、r=-0.5m 、1'=n 、n=1.33，代入得 )33.11(5.015.033.1'1--=--s 计算得5.0'-=s m故小鱼的表观位置仍在原来的位置。