人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.1 双曲线及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：双曲线的定义平面内到两定点1F 、2F 的距离的绝对值为定值（小于|F F |21）的点的轨迹叫双曲线，其中两定点为焦点，两焦点之间的距离为焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 已知定点1F （-2，0）、2F （2，0），在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是A. 3|PF ||PF |21±=-B. 4|PF |PF |21±=-C. 5|PF ||PF |21±=-D. 4|PF ||PF |2221±=-2. 若动点P 到1F （-5，0）与P 到2F （5，0）的距离的差为8±，则P 点的轨迹方程是A.116y 25x 22=+ B.116y 25x 22=- C.19y 16x 22=+ D.19y 16x 22=- 3. 已知双曲线的两个焦点坐标为()2,2F 1--、()2,2F 2，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程。
4. 在△ABC 中，B （4，0）、C （-4，0），点A 运动时满足A sin 21C sin B sin =-，求A 点轨迹。
题型二：双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，方程为1b y a x 2222=-，焦点为F （c ±，0）；（2）焦点在y 轴上，方程为1bx a y 2222=-，焦点为F （0，c ±）；（3）a 、b 、c 之间的关系：222c b a =+。
请根据以上知识解决5~7题。
5. 已知方程b ay ax 22=-，如果实数a 、b 异号，则它表示的曲线是A. 焦点在x 轴上的双曲线B. 焦点在y 轴上的双曲线C. 圆D. 椭圆6. 已知双曲线的焦距为26，1325c a 2=，则双曲线的标准方程是 A.1169y 25x 22=- B.1169x 25y 22=- C.25x 21144y 2=- D.1144y 25x 22=-或1144x 25y 22=- 7. 已知双曲线过M （1，1）、N （-2，5）两点，求双曲线的标准方程。
题型三：应用双曲线的定义解题P 是双曲线上任意一点，1F 、2F 为左、右焦点，则有a 2||PF ||PF ||21=-，根据以上知识解决8~10题。
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为1F 、2F ，在左支上过1F 的弦AB 的长为5，若8a 2=那么△2ABF 的周长为A. 16B. 18C. 21D. 269. 若椭圆1n y m x 22=+（0n m >>）和双曲线1by a x 22=-（0a >，0b >）有相同的焦点1F 、2F ，P 为椭圆与双曲线的公共点，则|PF ||PF |21⋅等于A. a m -B.()a m 21- C. 22a m -D. a m -10. P 是双曲线136y 64x 22=-上一点，点1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且17|PF |1=，求|PF |2的值。
【互动探究】 ［学科内综合］11. 5m 3<<是方程16m m y 5m x 222=--+-表示的图形为双曲线的A. 充分但非必要条件B. 必要但非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件12. 已知1F 、2F 是双曲线19y 16x 22=-的两个焦点，PQ 是过1F 的弦，且PQ 的倾斜角为α，那么|PQ ||QF ||PF |22-+的值是A. 16B. 12C. 8D. 随α角的大小而变化13. 双曲线116y 9x 22=-的焦点为1F 、2F ，且点P 是双曲线上的一点，若∠=21PF F 60°，试求△21PF F 的面积。
［学科间综合］14. A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距km 4，P 为敌炮阵地，某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现，这一信号（该信号的传播速度为每秒km 1），A 若炮击P 地，求炮击的方位角。
15. 设声速为s /am ，在相距m a 10的观察所中，听到一声爆炸，时间差为s 6，且记录B 处的声强是A 处的声强的4倍，若已知声速s /m 340a =，声强与距离的平方成反比，试确定P 到AB 的中点的距离。
［新题型］16. 已知θ是三角形的一个内角，且21cos sin =θ-θ，则方程1cos y sin x 22=θ-θ可能表示下列曲线中的_________。
（填上所有可能情况） ①焦点在x 轴上的椭圆；②焦点在y 轴上的椭圆；③焦点在x 轴上的双曲线；④焦点在y 轴上的双曲线。
【经典名题】17. （2006·上海）若R k ∈，则3k >是方程13k y 3k x 22=+--表示双曲线的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件18. （2006·北京）已知点M （-2，0），N （2，0），动点P 满足条件22|PN ||PM |=-，记动点P 的轨迹为W 。
（1）求W 的方程；（2）若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求⋅的最小值。
参考答案： 1. A2. D 提示：由题意知P 点的轨迹是双曲线。
∵5c =，4a =，∴9a c b 222=-=。
又∵焦点在x 轴上，∴P 点的轨迹方程为19y 16x 22=-。
3. 解：设P 点坐标为（x ，y ），∵()()2212y 2x |PF |+++=，()()2222y 2x |PF |-+-=22|PF ||PF |21±=-，∴()()()()222y 2x 2y 2x 2222±=-+--+++。
将这个方程移项后，两边平方，得()()()()()()2222222y 2x 2y 2x 2482y 2x -+-+-+-⨯±=+++即()()222y 2x 2y x -+-±=-+，两边再平方，得2y 22y 2x 22x y 22x 22xy 22y x 2222+-++-=--+++，整理，得1xy =，此即为所求双曲线的方程。
4. 解：∵A sin 21C sin B sin =-， 由正弦定理得a 21c b =-，即|BC |21|AB ||AC |=-。
∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支，其方程为()2x 112y 4x 22>=- 5. B6. D 提示：∵26c 2=，1325c a 2=，∴13c =，25a 2=。
∴1442513b 22=-=。
∴双曲线的标准方程为1144y 25x 22=-或1144x 25y 22=-。
7. 解法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为1by a x 2222=-。
∵M （1，1）、N （-2，5）在双曲线上，∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-1b 5a 2,1b 1a 1222222，解得⎪⎩⎪⎨⎧==7b 87a 22。
若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为1bx a y 2222=-。
同理有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-1b 2a 51b 1a 1222222 解得()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=舍去87b 7a 22， ∴所求双曲线的标准方程为17y 87x 22=-。
解法二：设所求双曲线的方程为 1By Ax 22=+。
将点M （1，1）、N （-2，5）代入此方程得⎩⎨⎧=+=+1B 25A 4,1B A ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==71B ,78A ，∴所求双曲线的标准方程为17y 87x 22=-。
提示：求双曲线的方程时，可根据其焦点位置，设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a 、b 的值，若双曲线的焦点位置难以确定，可设双曲线的方程为1By Ax 22=+，利用条件，通过待定系数法求出系数的值，从而写出双曲线的标准方程。
8. D 提示：如图，5|BF ||AF ||AB |11=+=，8a 2|AF ||AF |12==-，8a 2|BF ||BF |12==-，∴a 2|BF |a 2|AF ||AB ||BF ||AF ||AB |l 1122A BF 2++++=++=△2616108252a 4|AB |2a 4|AB ||AB |=+=⨯+⨯=+=++=。
9. A 提示：椭圆的焦点为()0,n m -±，双曲线的焦点为()0,b a +±，∴b a n m +=-。
∴m 2|PF ||PF |21=+，①a 2||PF ||PF ||21=-。
② ①2-②2有a m |PF ||PF |21-=⋅。
10. 解：在双曲线136y 64x 22=-中，8a =，6b =，故10c =，由P 是双曲线上一点，得16||PF ||PF ||21=-。
∴1|PF |2=或33|PF |2=。
又2a c |PF |2=-≥。
∴33|PF |2=。
提示：本题容易忽略a c |PF |2-≥这一条件，而得出错误结论1|PF |2=或33|PF |2=。
11. A 提示：当5m 3<<时，05m <-，()()03m 2m 6m m 2>-+=--，∴该方程表示的图形为双曲线；当方程表示的图形为双曲线，则()()06m m 5m 2>---，即()()()03m 2m 5m <-+-，解得-<m 2或5m 3<<。
∴5m 3<<是方程16m m y 5m x 222=--+-表示的图形为双曲线的充分而不必要条件。
12. A 提示：∵双曲线方程为19y 16x 22=-， ∴8a 2=。
由双曲线的定义得8a 2|PF ||PF |12==-，①8a 2|QF ||QF |12==-，②①+②得，()16|QF ||PF ||QF ||PF |1122=+-+。
∴16|PQ ||QF ||PF |22=-+。
13. 解：∵16b 2=，9a 2=，∴25c 2=，10c 2=。
又∵623||PF ||PF ||21=⨯=-， ︒⋅⋅-+=60cos |PF ||PF |2|PF ||PF ||F F |212221221，∴64|PF ||PF |21=⋅。
∴31660sin |PF ||PF |21S 21F PF 21=︒⋅⋅=△。
14. 解：以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立坐标系，则A （3，0）、B （-3，0）、C （-5，32）。