2016年山西省中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．-61的相反数是（ ） A ．61 B ．-6 C ．6D ．-61 2．不等式组⎩⎨⎧<>+6205x x ，的解集是（ ） A ．x >-5 B ．x <3 C ．-5<x <3 D ．x <53．以下问题不适合全面调查的是（ ）A ．调查某班学生每周课前预习的时间B ．调查某中学在职教师的身体健康状况C ．调查全国中小学生课外阅读情况D ．调查某校篮球队员的身高4．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）（第4题图）A B C D5．我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5 500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）A ．5.5×106千米B ．5.5×107千米C ．55×106千米D ．0.55×108千米6．下列运算正确的是（ ）A ．（-23）2=-49B ．（3a 2）3=9a 6C ．5﹣3÷5﹣5=251 D ．8-50=-32 7．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg ，甲搬运5 000 kg 所用的时间与乙搬运8 000 kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物，设甲每小时搬运x kg 货物，则可列方程为（ ）A ．x x 80006005000=-B ．60080005000+=x xC ．x x 80006005000=+D ．60080005000-=x x 8．将抛物线y =x 2-4x -4先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的函数表达式为（ ）A ．y =（x +1）2-1B ．y =（x -5）2-3C ．y =（x -5）2-13D ．y =（x +1）2-3 9．如图，在ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，若AB =12，∠C =60°，则EF 的长为（ ）（第9题图）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π10．宽与长的比是215-（约0.618）的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中的下列矩形是黄金矩形的是（ ）（第10题图）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 ．（第11题图）12．若点（m -1，y 1），（m -3，y 2）是反比例函数y =x m （m <0）图像上的两点，则y 1 y 2（填“>” “<”或“=”）． 13．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．（第13题图） 14．如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为 ．（第14题图） 15．如图，若C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 ．（第15题图）三、解答题（本题共8小题，共75分）16．（10分）（1）计算：（-3）2-（51）﹣1-8×2+（-2）0． （2）先化简，再求值：112222+---x x xx x ，其中x =-2． 17．（7分）解方程：2（x -3）2=x 2-9．18．（8分）每年5月的第二周为“职业教育活动周”，今年我省开展了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．请解答以下问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图.（2）若该校共有1 800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人.（3）要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是 ．（第18题图）19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理： 阿基米德（archimedes ，公元前287~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al ﹣Binmi （973~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al ﹣Binmi 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC >AB ，M 是ABC 的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图②，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是ABC的中点，∴MA=MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.（2）填空：如图③，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB=2，D为AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是．①②③（第19题图）20．（7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2 000 kg~5 000 kg （含2 000 kg和5 000 kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2 000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20 000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．21．（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA= 50 cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30 cm，点A 到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度分别是多少（结果保留根号）．（第21题图）22．（12分）综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图①，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD>90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现：（1）将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图②的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是.（2）创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图③的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论.实践探究：（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC=13 cm，AC=10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB的方向平移a cm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题.（4）请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．①②③④（第22题图）23．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2+bx -8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标．（2）试探究抛物线上是否存在点F ，使△FOE ≌△FCE ？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ，试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．（第23题图）参考答案一、1．A 【分析】∵61+（-61）=0，∴-61的相反数是61．故选A ． 2．C 【分析】⎩⎨⎧<>+.②62①05x x ， 解①，得x >-5．解②，得x <3，则不等式组的解集是-5<x <3．故选C ． 3．C 【分析】调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查；调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；调查某校篮球队员的身高适合全面调查．故选C ．4．A 【分析】观察图形可知，该几何体的左视图如答图．故选A ．（第4题答图）5．B 【分析】5 500万=5.5×107．故选B ．6．D 【分析】A ．（-23）2=49，故此选项错误；B ．（3a 2）3=27a 6，故此选项错误； C ．5﹣3÷ 5﹣5=25，故此选项错误；D ．8-50=22-52=-32，故此选项正确．故选D ． 7．B 【分析】设甲搬运工每小时搬运x 千克，则乙搬运工每小时搬运（x +600）千克．由题意，得60080005000+=x x ．故选B ． 8．D 【分析】因为y =x 2-4x -4=（x -2）2-8，所以抛物线y =x 2-4x -4的顶点坐标为（2，-8）．把点（2，-8）先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度所得对应点的坐标为（-1，-3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y =（x +1）2-3．故选D ．9．C 【分析】如答图，连接OE ，OF ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OE ⊥CD ，∴∠OED =90°． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∠C =60°，∴∠A =∠C =60°，∠D =120°．∵OA =OF ，∴∠A = ∠OF A =60°，∴∠DFO =120°，∴∠EOF =360°-∠D -∠DFO -∠DEO =30°，∴EF 的长为1806π30⨯=π．故选C ．（第9题答图） 10．D 【分析】设正方形ABCD 的边长为2，则CD =2，CF =1．在直角三角形DCF 中，DF =2122+=5，∴FG =5，∴CG =5-1．∴CDCG =215-．∴矩形DCGH 为黄金矩形．故选D ．二、11．（3，0） 【分析】由双塔西街点的坐标为（0，-1）与桃园路的点的坐标为（-1，0），得太原火车站的点的坐标是（3，0）．12．> 【分析】∵在反比例函数y =x m （m <0）中，k =m <0，∴该反比例函数在第二象限内y 随x 的增大而增大．∵m -3<m -1<0，∴y 1>y 2．13．4n +1 【分析】由题图可知，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5；第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2-1=9；第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3-2=13；…；第n 个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n -（n -1）=4n +1．14．94 【分析】列表如下．1 2 3 11，1 1，2 1，3 22，1 2，2 2，3 3 3，1 3，2 3，3∵由表可知，共有9种等可能的结果，其中两次指针指向的数都是奇数的结果有4种，∴两次指针指向的数都是奇数的概率为94． 15．3-5 【分析】∵AB =CD =4，C 为线段AB 的中点，∴BC =AC =2，∴AD =25．∵EH ⊥DC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，∴EH ∥AC ，四边形BCGE 为矩形，∴∠HEA =∠EAB ，BC =GE =2．又∵AE 是∠DAB 的平分线，∴∠EAB =∠DAE ，∴∠DAE =∠HEA ，∴HA =HE ．设GH =x ，则HA =HE =HG +GE =2+x ．∵EH ∥AC ，∴△DHG ∽△DAC ，∴DA DH =AC HG ，即252)2(52x x =+-，解得x =3-5，即HG =3-5．三、16．解：（1）（-3）2-（51）﹣1-8×2+（-2）0 =9-5-4+1=1．（2）112222+---x x x x x =1)1)(1()1(2+--+-x x x x x x =12+x x -1+x x =1+x x ． 当x =-2时，原式=122+--=2． 17．解：将方程变形，得2（x -3）2-（x +3）（x -3）=0．分解因式，得（x -3）（2x -6-x -3）=0．解得x 1=3，x 2=9．18．解：（1）调查的总人数是18÷9%=200，则最感兴趣的一种职业技能是工业设计的人数是200-16-26-80-18=60．最感兴趣的一种职业技能是工业设计的所占的百分比是60100%200⨯=30%；最感兴趣的一种职业技能是机电维修的所占的百分比是26100%200⨯=13%．补全条形统计图和扇形统计图如答图．（第18题答图）（2）估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生数是1 800×30%=540（人）．（3）0.13．19．（1）证明：如答图①，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是ABC的中点，∴MA=MC．又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD．（2）解：2+22．【分析】如答图②，截取BF=CD，连接AF，AD，CD．由题意，得AB=AC，∠ABF=∠ACD．在△ABF和△ACD中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，DCBFACDABFACAB∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AF=AD．∵AE⊥BD，∴FE=DE，即CD+DE=BE．∵∠ABD=45°，∴BE=2AB=2．则△BDC的周长是2+22．① ②（第19题答图） 20．解：（1）方案A ：函数的表达式为y =5.8x ；方案B ：函数的表达式为y =5x +2 000．（2）由题意，得5.8x <5x +2 000，解得x <2 500．则当购买量x 的范围是2 000≤x <2 500时，选用方案A 比方案B 付款少．（3）他应选择方案B ．理由如下：方案A ：苹果的质量为20 000÷5.8≈3 448（kg ）；方案B ：苹果的质量为（20 000-2 000）÷5=3 600（kg ）．∵3 600>3 448，∴方案B 购买的苹果多．∴水果批发商应选择方案B.21．解：如答图，过点A 作AG ⊥CD 于点G ，则∠CAG =30°．在Rt △ACG 中，CG =AC • sin 30°=50×21=25（cm ）． ∵GD =50-30=20（cm ），∴CD =CG +GD =25+20=45（cm ）．连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，则∠H =30°．在Rt △CDH 中，CH = 30sin CD =2CD =90（cm ）． ∴EH =EC +CH =AB -BE -AC +CH =300-50-50+90=290（cm ）．在Rt △EFH 中，EF =EH • tan 30°=290×33=33290（cm ）． 答：支撑角钢CD 和EF 的长度分别是45 cm ，33290cm ．（第21题答图）22．（1）解：菱形．【分析】如答图①，由题意可知，∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC =AC′， ∴AC′∥EC ，AC ∥C′E ，∴四边形ACEC′ 是平行四边形.又∵AC =AC′，∴四边形ACEC′ 是菱形．（2）证明：如答图②，过点A 作AE ⊥CC′ 于点E ．由旋转，得AC′ =AC ，∴∠CAE =∠C′AE =21α=∠BAC ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴BA =BC ，∴∠BCA =∠BAC ，∴∠CAE =∠BCA ，∴AE ∥BC ．同理可得，AE ∥DC′，∴BC ∥DC′，∴∠BCC′=90°．又∵BC =DC′，∴四边形BCC′D 是平行四边形．又∵∠BCC′ =90°，∴四边形BCC′D 是矩形．（3）解：如答图②，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．∵BA =BC ，∴CF =AF =21AC =21×10=5． 在Rt △BCF 中，BF =CF BC 22-=51322-=12．∵∠CAE =∠BCF ，∠CEA =∠BFC =90°，∴△ACE ∽△CBF ，∴BC AC BF CE =， 即131012=CE ，解得EC =13120． ∵AC =AC′，AE ⊥CC′，∴CC′ =2CE =2×13120=13240． 当四边形BCC′D 恰好为正方形时，分两种情况：①点C″ 在边C′C 上，a =C′C -13=13240-13=1371； ②点C″ 在边C′C 的延长线上，a =C′C +13=13240+13=13409．综上所述，a的值为1371或13409．（4）解：答案不唯一．例如，如答图③，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA的方向平移，平移距离为21AC的长度，得到△A′C′D′，连接A′B，D′C．结论：四边形A′BCD′是平行四边形．①②③（第22题答图）23．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），∴⎩⎨⎧-=-+=--，，88636824baba解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.321ba，∴抛物线的表达式为y=21x2-3x-8．∵y=21x2-3x-8=21（x-3）2-225，∴抛物线的对称轴为直线x=3．又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0），∴点B的坐标为（8，0）．设直线l的表达式为y=kx．∵直线l经过点D（6，-8），∴6k=-8，解得k=-34，∴直线l的表达式为y=-34x．∵点E为直线l与抛物线的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为-34×3=-4，∴点E的坐标为（3，-4）．（2）抛物线上存在点F，使得△FOE≌△FCE，此时点F的纵坐标为-4，∴21x2-3x-8=-4，即x2-6x-8=0，解得x=317±．∴点F的坐标为（3+17，-4）或（3-17，-4）．（3）①如答图①，当OP =OQ 时，△OPQ 是等腰三角形． ∵点E 的坐标为（3，-4），∴OE =4322+=5．过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OQOE OP OM =， ∴OM =OE =5，∴点M 的坐标为（0，-5）．设直线ME 的表达式为y =k 1x -5，则3k 1-5=-4，解得k 1=31． ∴直线ME 的表达式为y =31x -5． 令y =0，得31x -5=0，解得x =15． ∴点H 的坐标为（15，0）．∵MH ∥PB ，∴OH OB OM OP =， 即1585=-m ，解得m =-38． ②如答图②，当QO =QP 时，△POQ 是等腰三角形． ∵当x =0时，y =21x 2-3x -8=-8， ∴点C 的坐标为（0，-8），∴CE =)48322-+（=5， ∴OE =CE ，∴∠1=∠2．∵QO =QP ，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE ∥PB ．设直线CE 交x 轴于点N ，表达式为y =k 2x -8，则3k 2-8=-4，解得k 2=34． ∴直线CE 的表达式为y =34x -8， 令y =0，得34x -8=0，∴x =6． ∴点N 的坐标为（6，0）．∵CN ∥PB ，∴ON OB OC OP =， 即688=-m ，解得m =-332． ③当OP =PQ 时，显然不可能．理由如下：∵D （6，-8），∴∠1<∠BOD ．∵∠OQP =∠BOQ +∠ABP ，∴∠PQO >∠1，∴OP ≠PQ ．综上所述，当m =-38或m =-332时，△OPQ 是等腰三角形．①② （第23题答图）。