组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。 c a b b c c d d d abc ， abd ， acd ， bcd .
组合
abc abd acd abc acb abd adb acd adc bdc
排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
bcd
你发现了 什么bcd ?
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
求 A4可分两步考虑： 3
3
3
求 P4 可分两步考虑：
3
第一步， C 4 （ 4）个；
第二步， A3 （ 6）个；
根据分步计数原理， A4
3
A 从而 C C A
3 4
3
CA
3 4
3 3
.
P 3 如何计算: P 3 3
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
思考三:组合与排列有联系吗?
元素相同
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造 组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种 车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合是选择的结果，排列 组合问题
m m m A C A 根据分步计数原理，得到： n n m
数公式．
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! 0 C 我们规定：Cn 1. m !(n m)!
3 2 3 2 C.C8 C7 C7 C8
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员， 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
AC . A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
D.2C A A
2 5 3 3
3 5
课堂练习： 5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
是选择后再排序的结果. (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 ,共有 多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手 多少次? 组合问题
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 排列问题
解：（1） ⑶
C 56
C 35
3 7
3 8
⑵
C 21
2 7
我们发现：
C
3 8
C C
2 7
3 为什么呢 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
性质2
证明:
n! n! m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]! n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n! m!(n m 1)! m!(n 1 m)! (n 1)! m C n1 . m![( n 1) m]!
例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要 派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名 外科医生参加，有多少种选法？ 例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线 上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确 定多少条直线？可以作多少个三角形？
（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个 点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？
3 1 4 5 (5)方法一：C32C9 C3 C9 C30C9 756
方法二：C C C 756 1 4 (6)方法一：C C C C C3C9 666 方法二：C C C 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9
C C
m n
c n 1 c n c n
m1 n
m
m
m 1
c n 1 c n c n
m
m
m 1
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数． 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m m个元素的组合数，用符号 C n 表示.
注意： m 是一个数，应该把它与“组合”区别开来． Cn 如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 2 有组合个数是: C 3
3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个 2 元素的所有组合个数是：C4 6
课堂练习：
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人， 若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中 9 至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数 为（ C ） 3 2 3 3 2 3 A.(C8 C7 )(C7 C82 ) B.(C8 C7 ) (C7 C82 )
小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念
性质2
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有 多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少 种取法？
乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例3
m 1 m1 求证 : C Cn . nm
m n
n！ 证明: C , m（ ! n m） !
m n
m 1 m1 m 1 n! Cn nm n m (m 1)!(n m 1)! m 1 n! (m 1)! (n m)( n m 1)!
n! m Cn . m !(n m) !
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？ （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
情境创设 问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？ 2 3
A 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题1
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.
例１
(1)
计算：
C
3 100
C
3 99
C 99; 100 99 98
3
2
( 2)
2C
3 8
3 2 1
2
161700
C9 C8 .
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
2 C (C C ) C C 56
例2 求证: m m1 m m1 ( 1 ) Cn1 Cn Cn1 Cn1 ;
C 2C C . m1 m1 m (2) C n C n 2C n m m1 m1 m m m1 m1 ( 1 ) (C n C nC n(1C n C nC 1 n ) C n) m1 m m1 m C n CC n n 1 1 Cn m m1 C n C n1 . 2.
问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组
有 顺 序
排列
组合
无 顺 序
概念讲解
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
m n
例题分析
例1计算：⑴
C
4 7
⑵
C
7 10
(3) 已知
C
3 n

A
2 n
,求 n ．
38-n 3n (4)求 C3n +C21+n的值.
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方；