曲线与方程的教学设计上海曹杨二中桂思铭一、内容和内容解析曲线与方程为选修2-1的内容，它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数算式）间的一一对应关系;同时，介绍了求解曲线方程的一般方法，并要求学生能通过方程来处理一些简单的几何问题，如根据已知条件确定方程中的参数，求动点的轨迹方程等问题.学生在这本节内容学习之前，已经有了直线方程及圆方程的相关知识，在这里进一步研究曲线与方程的关系有着承上启下的作用，学生可以根据已经验通过教师的引导进行一般的归纳总结，用已有经验来加深对定义的认识，廓清曲线与方程之间的关系，进而能更深入理解解析几何的本质，同时也为后继圆锥曲线的学习奠定一个基础.二．目标和目标解析教学目标：理解曲线的方程、方程的曲线的概念；能根据给出的条件求曲线的方程；经历对曲线方程定义的归纳理解过程，体会数学思维的严谨，借助于技术强化数形结合的思想方法.上述教学目标具体体现在:（1）能辨析给出的方程是否是某个曲线的方程;（2）给出一些熟悉的曲线的部分图像后能确定变量的取值范围;（3）掌握求曲线方程的基本流程;（4）能利用曲线方程的定义求解轨迹方程;（5）能对照求曲线方程的步骤来反思自己的求解过程.教学的重点和难点在于学生对曲线与方程的概念的理解和掌握.三．教学问题诊断新课标教材将这部分内容作为选修内容，之前的学习为学生提供了曲线与方程的具体事例(直线及圆),学生知道直线和圆的问题可以通过方程来研究处理,如判断两条直线的位置关系;求直线的交点;直线和圆的位置关系等,但可能经过了一个阶段学生记忆中留下的只是一些具体的解题的方法和知识,并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建新的知识，这需要教师通过一些事例去激活学生的思维.另外,在前面学习的直线和圆的过程中,学生遇到的问题往往是求得的直线或圆就是一条完整的直线或一个完整的圆,不需要去深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题,而进入到一般的曲线的研究过程,学生自然会在这方面出现这样或那样的问题,所以我们在教学中,要强调新授知识和已有知识间的区别和联系,让学生感到新学的内容既不是一个全新的内容,又与以往的内容又有一定的区别,这有助于联系的看问题,完善学生的认知结构,帮助学生掌握好本节内容.四．教学支持条件分析为了能很好地帮助学生理解、反思学习内容,体会新学的知识的要义,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解分析问题,所以，借助于动态几何的软件来加强几何直观十分必要，同时这也可以帮助学生验证其演算结果的正确与否,体会曲线与方程的定义.五．教学过程设计(一)概念的导入1．通过投影呈现几个教材内容的片断,为新课的学习作一些必要的铺垫.片断1数学2第三章中直线与方程的章头语：……通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。
……建立直线方程.然后通过方程,研究直线的有关性质…….片断2第四章圆与方程的章头语……建立圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系.片断3数学2中第97页的思考栏目（1）平面直角系中的每一条直线都可以用一个关于、的二元一次方程来表示吗？（2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线吗？2.请同学们结合对上述片断的观察回答从中可以得出哪些主要信息?(从上述片断中可以提炼出这样一些观点:①解析几何主要是通过方程来研究几何问题;②我们可以用建立起二元方程和直线间的一一对应关系;③片断3也提供了怎样来建立方程和曲线联系的途径;④更一般的,可以对建立曲线的方程来研究曲线的几何性质.)3.指出今天我们要学习的内容,板书标题曲线与方程4.为了帮助学生给曲线的方程下定义,进一步提供以下问题:(1)写出表示下列图形(实线部分)的方程(2)作下列方程所表示的图形(i); (ii)5.结合对前面问题的观察分析,请你来给曲线的方程下个定义.6.一般地,在直角坐标系中,如果某曲线(看作点的集合或某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.7.证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是.(1)要求学生分析明确要证明轨迹方程为需要从曲线满足的方程和方程所对应的曲线这两个方面来考虑问题;(2)教师展示证明过程,帮助学生规范证明的书写,体会解决问题的过程.(二)求曲线的方程1.对什么是求曲线的方程作一些简单的阐述(结合前面的问题来讲解,明确求曲线的方程实际上是做什么工作，要注意哪些问题)2.通过投影显示例2的内容,请学生阅读例2,学习解题的方法, 并对照例2的解题步骤,写出求曲线方程的一般步骤.3.例3.已知一条直线和它上方的一点,点到的距离是2,一条曲线也在的上方,它上面每一点到的距离减去到的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.(1)请学生建立直角坐标系,并要求学生说明这样建立坐标系的理由;(2)要求学生写出曲线的方程,(3)通过几何软件,验证方程的解所对应的点在曲线上,特别提醒学生要仔细审题,要有放过来验证的思考,不要轻易地断定反过去结论也成立,要有理性的思考.(三)巩固练习1.完成教科书第37页上的练习1.2,请学生谈谈这两个题主要帮助你加深了对哪些问题的认识?2.完成习题3,并结合几何的分析说明方程的解所对应的点一定在曲线上。
六．目标检测设计已知曲线的方程为，并且曲线经过点，两点，（1）求曲线的方程；（2）若在的正半轴上存在一点，过点的直线交曲线，于，两点，求，的中点的轨迹方程.希望能通过这个问题能检查学生对本节内容的掌握情况，因（2）的结果需要有分类讨论的过程，学生可能会出现问题，教师可顺势提出问题，回扣曲线与方程的定义，完成小节工作，同时也为学生的回家作业作了一个铺垫.回家作业习题2.1 的所有题目“曲线与方程”的教学反思上海曹杨二中桂思铭一、对教学设计的再思考本内容包含“曲线与方程”和“求曲线的方程”。
前一小节引入“曲线的方程”和“方程的曲线”概念,并通过概念的简单应用，使学生初步理解概念；后一小节给出求轨迹方程的一般步骤和方法，通过求轨迹方程帮助学生进一步理解、掌握曲线方程的概念.在先前的教学设计中，主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程”“圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生已有的认知基础，有利于学生主动构建概念。
我认为这样的设计对学生理解概念、发展能力都有积极意义，但做好这一点必须有充足的时间让学生进行归纳、思考、总结. 从实际的教学情况来看,在概念的引入上是比较成功的,学生在课堂中的表现和教学设计的预设比较一致,这是设计中值得肯定的一面.先前的设计的不足主要是没有充分重视轨迹方程的求解过程.要完整地体现教材的编写意图,在重视概念形成发展过程的同时还需要重视习题内容的处理.我们来看教材中的一个习题(37页练习3):如图,已知点的坐标是,过点的直线与轴交于点,过点与直线垂直的直线与轴交于点.设点是线段的中点，求点的轨迹方程.这个问题的解答途径主要有两种:（1）用和有公共的斜边这一特性,得出点到定点及的距离相同,得出所求的轨迹就是线段的垂直平分线,因此可以利用例2的方法来求解;（2）引入一个参数,设直线的斜率为,然后根据已有的知识将点的坐标用来表示,最后消去参数.这两种方法学生都比较陌生,前一种解法的“平面几何味道”很浓,有一个转化的过程;后一种解法主要是用参数方程的思想,学生没有接触过,没有可以模仿的例题,独立解决有困难,需要教师的铺垫与归纳.同样，学生独立完成教科书上的习题也有一定的难度。
因此，课堂教学中，通过例题有效地帮助学生体会到“曲线与方程”中蕴含的数学思想和方法是非常重要的任务.鉴于上述分析,应将求轨迹方程的方法列入教学的重点和难点,但一个课时无法完成教学任务，需要增加一个课时.二、对教学设计的调整基于上面的思考，现将教学设计作一个调整，将本节内容改成两节课完成，两节课的内容安排如下：第一课2.1.1曲线与方程的全部内容加上2.1.1求曲线的方程例2;第二课例3结合作业分析,归纳几种主要的求轨迹方程的方法.下面是修改后的教学设计：（一）课前预习在上课前一天布置学生复习回顾下列内容，并思考：从中可以归结出哪些观点？片断1数学2第三章中直线与方程的章头语：……通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。
……建立直线方程.然后通过方程,研究直线的有关性质…….片断2第四章圆与方程的章头语……建立圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系.片断3数学2中第97页的思考栏目（1）平面直角系中的每一条直线都可以用一个关于、的二元一次方程来表示吗？（2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线吗？(二)概念导入1．通过投影呈现上述片断，让学生回答从中可以得出哪些主要信息?(从上述片断中可以提炼出观点:①解析几何主要是通过方程来研究几何问题;②二元一次方程和直线间具有一一对应关系;③片断3也提供了建立方程和曲线联系的途径;④更一般的,可以先建立曲线的方程，通过方程来研究曲线的几何性质.)2.指出今天我们要学习的内容,板书标题“曲线与方程”。
3.为了帮助学生给曲线的方程下定义,进一步提供以下问题:(1)写出表示下列图形(实线部分)的方程：(2)作下列方程所表示的图形：(i); (ii).(通过具体问题体会“纯粹性”和“完备性”。
教学中可根据学生的回答情况，通过追问的方式，在上述两点上帮助学生深入理解。
)4.结合对前面问题的观察分析,请学生给曲线的方程下个定义：一般地,在直角坐标系中,如果某曲线(看作点的集合或某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.5.证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是.(1)先用信息技术展示“与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹”，再引导学生分析，明确解题任务——要证明轨迹方程为，就是要证明两个命题：轨迹上的点的坐标满足方程，并且方程的解为坐标的点都在轨迹上;(2)教师展示证明过程,帮助学生规范证明的书写,体会解题过程.(三)求曲线的方程1.对什么是求曲线的方程作简单讲解(结合前面的问题来讲解,明确求曲线的方程是要做什么工作，要注意哪些问题)。
2.通过投影显示例2的内容,请学生阅读例2,学习解题的方法(这里将直线看作点的轨迹), 并对照例2的解题步骤,写出求曲线方程的一般步骤.(四)巩固练习1.完成教科书第37页上的练习1.2,请学生谈谈这两个题主要帮助自己加深了对哪些问题的认识?2.阅读37页上的练习3,教师用几何软件作轨迹图形(线段的垂直平分线)然后帮助学生形成解题的方法.(设计说明：前面已分析了学生解这个问题的困难所在,先用软件作图的目的在于启发学生的思维,帮助学生形成解题策略,有了轨迹可以启发学生用平面几何的知识将问题进行转化,同时也可以对解题中为什么要引入参数,如何引入参数作一些必要的说明,让学生掌握解题的方法。