必修四期末测试题
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．sin 150°的值等于( )． A ．
2
1
B ．－
2
1 C ．
2
3 D ．－
2
3 2．已知AB ＝(3，0)
等于( )． A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．在0到2π范围内，与角－3
4π
终边相同的角是( )． A ．
6
π B ．
3π
C ．
3
2π D ．
3
4π 4．若cos α＞0，sin α＜0，则角 α 的终边在( )． A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°的值等于( )． A ．
4
1
B ．
2
3 C ．
2
1 D ．
4
3 6．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( )． A ．AB ＝CD B ．AB －AD ＝BD C ．AD ＋AB ＝AC D ．AD ＋BC ＝0 7．下列函数中，最小正周期为 π 的是( )． A ．y ＝cos 4x
B ．y ＝sin 2x
C ．y ＝sin
2
x D ．y ＝cos
4
x 8．已知向量a ＝(4，－2)，向量b ＝(x ，5)，且a ∥b ，那么x 等于( )． A ．10
B ．5
C ．－
2
5 D ．－10
9．若tan α＝3，tan β＝3
4
，则tan (α－β)等于( )． A ．－3
B ．3
C ．－3
1
D ．3
1
10．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( )．
A ．2，－2
B ．1，－3
C ．1，－1
D ．2，－1
11．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，0)，B (1，2)，C (0，c )，若AB ⊥BC ，那么c 的值是( )． A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3
C (第6题)
12．下列函数中，在区间[0，2
π
]上为减函数的是( )． A ．y ＝cos x
B ．y ＝sin x
C ．y ＝tan x
D ．y ＝sin (x －
3
π) 13．已知0＜A ＜2π，且cos A ＝53
，那么sin 2A 等于( )．
A ．
25
4
B ．
25
7 C ．
25
12 D ．
25
24 14．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q 等于( )．
A ．(－3，－2)
B ．(3，－2)
C ．(－2，－3)
D ．(－3，2)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．已知角 α 的终边经过点P (3，4)，则cos α 的值为 ．
16．已知tan α＝－1，且 α∈[0，π)，那么 α 的值等于 ．
17．已知向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是 ．
18．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似 满足函数T ＝A sin (ωt ＋ϕ)＋b (其中
2
π
＜ϕ＜π)，6 时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上 述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14 时温差的最大值是 °C ；图中曲线对应的 函数解析式是________________．
三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．(本小题满分8分) 已知0＜α＜2π，sin α＝54．(1)求tan α 的值； (2)求cos 2α＋sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
2π ＋ α的值．
(第18题)
20．(本小题满分10分)
已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝2
1． (1)求|b |；(2)当a ·b ＝2
1
时，求向量a 与b 的夹角 θ 的值．
21．(本小题满分10分) 已知函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)．
(1)当 ω＝1时，写出由y ＝f (x )的图象向右平移6
π
个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式； (2)若y ＝f (x )图象过点(3
π2，0)，且在区间(0，3π
)上是增函数，求 ω 的值．
期末测试题参考答案
一、选择题： 1．A
解析：sin 150°＝sin 30°＝2
1． 2．B
＝0＋9＝3． 3．C
解析：在直角坐标系中作出－3
4π
由其终边即知． 4．D
解析：由cos α＞0知，α 为第一、四象限或 x 轴正方向上的角；由sin α＜0知，α 为第三、四象限或y 轴负方向上的角，所以 α 的终边在第四象限．
5．B
解析：sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝2
3
． 6．C
解析：在平行四边形ABCD 中，根据向量加法的平行四边形法则知AD ＋AB ＝AC ． 7．B 解析：由T ＝ω
π
2＝π，得 ω＝2．
8．D
解析：因为a ∥b ，所以－2x ＝4×5＝20，解得x ＝－10． 9．D
解析：tan (α－β)＝βαβαtan tan ＋1tan －tan ＝
4＋134
－
3＝3
1． 10．B
解析：因为cos x 的最大值和最小值分别是1和－1，所以函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是1和－3．
11．D
解析：易知AB ＝(2，2)，BC ＝(－1，c －2)，由AB ⊥BC ，得2×(－1)＋2(c －2)＝0，解得c ＝3． 12．A
解析：画出函数的图象即知A 正确．
13．D
解析：因为0＜A ＜2π
，所以sin A ＝5
4＝cos －12A ，sin 2A ＝2sin A cos A ＝2524．
14．A
解析：设q ＝(x ，y )，由运算“⊗”的定义，知p ⊗q ＝(x ，2y )＝(－3，－4)，所以 q ＝(－3，－2)．
二、填空题： 15．
5
3
． 解析：因为r ＝5，所以cos α＝5
3． 16．
4
3π． 解析：在[0，π)上，满足tan α＝－1的角 α 只有43π，故 α＝4
3π． 17．(－3，－5)．
解析：3b －a ＝(0，－3)－(3，2)＝(－3，－5)． 18．20；y ＝10sin (
8πx ＋4
3π
)＋20，x ∈[6，14]． 解析：由图可知，这段时间的最大温差是20°C ．
因为从6~14时的图象是函数y ＝A sin (ωx ＋ϕ)＋b 的半个周期的图象，
所以A ＝
21(30－10)＝10，b ＝21
(30＋１0)＝20． 因为21·ωπ2＝14－6，所以 ω＝8π，y ＝10sin ⎪⎭⎫
⎝⎛ϕ ＋ 8πx ＋20．
将x ＝6，y ＝10代入上式，
得10sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ϕ ＋ 68π＋20＝10，即sin ⎪⎭
⎫
⎝⎛ϕ ＋ 43π＝－1，
由于2π
＜ϕ＜π，可得 ϕ＝4
3π．
综上，所求解析式为y ＝10sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛43π ＋ 8
π
x ＋20，x ∈[6，14]．
三、解答题：
19．解：(1)因为0＜α＜
2
π，sin α＝54
， 故cos α＝53，所以tan α＝34．
(2)cos 2α＋sin ⎪⎭
⎫
⎝⎛α ＋ 2π＝1－2sin 2α ＋cos α＝1－2532＋53＝258．
20．解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝21，即a 2－b 2＝21
，
所以|b |2＝|a |2－
21＝1－21＝2
1
，故|b |＝22．
(2)因为cos θ＝
b
a b a ·＝22，故 θ＝45°．
21．解：(1)由已知，所求函数解析式为f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
6π － x ．
(2)由y ＝f (x )的图象过⎪⎭
⎫
⎝⎛0 ， 32π点，得sin 32πω＝0，所以32π
ω＝k π，k ∈Z ．
即 ω＝
2
3
k ，k ∈Z ．又ω＞0，所以k ∈N*． 当k ＝1时，ω＝
23，f (x )＝sin 23x ，其周期为3
4π， 此时f (x )在⎪⎭
⎫ ⎝
⎛3π ，
0上是增函数； 当k ≥2时，ω≥3，f (x )＝sin ωx 的周期为
ω
π
2≤
32π＜3
4π， 此时f (x )在⎪⎭
⎫ ⎝
⎛3π ，
0上不是增函数． 所以，ω＝2
3
．。