直线、平面垂直的判定及其性质一、目标认知学习目标1．了解空间直线和平面的位置关系；2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤．3．通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力．4．通过有关定理的发现、证明及应用，提高学生的空间想象力和类比、转化的能力，提高学生的逻辑推理能力．重点：直线与平面平行的判定、性质定理的应用；难点：线面平行的判定定理的反证法证明，线面平行的判定和性质定理的应用．二、知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)若，则.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：(1)直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线.(2)直线与平面垂直射影是点.(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角.知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.知识点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：2.平面与平面垂直的判定定理判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：图形语言：特征：线面垂直面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.知识点五、直线与平面垂直的性质1.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：2.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：知识点六、平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：三、规律方法指导垂直关系的知识记忆口诀：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清，平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件，面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝，先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见，借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线，两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面，要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间.经典例题透析类型一、直线和平面垂直的定义1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直.A.0B.1C.2D.3答案：B解析：当内的无数条直线平行时，与不一定垂直，故①不对；当与内的一条直线垂直时，不能保证与垂直，故②不对；当与不垂直时，可能与内的无数条直线垂直，故③不对；④正确.故选B.总结升华：注意直线和平面垂直定义中的关键词语.举一反三：【变式1】下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线.A.①②B.②③④C.①②④D.①②③答案：D解析：如图所示，直线，面ABCD，显然，∴①错；由于，，但，∴②错；，，但，∴③错.由直线与平面垂直的定义知④正确，故选D.总结升华：本题可以借助长方体来验证结论的正误.类型二、直线和平面垂直的判定2．如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.总结升华：挖掘题目中的隐含条件，利用线面垂直的判定定理即可得证.举一反三：【变式1】如图所示，三棱锥的四个面中，最多有________个直角三角形.答案：4解析：如图所示，PA⊥面ABC.∠ABC=90°，则图中四个三角形都是直角三角形.故填4.总结升华：注意正确画出图形.【变式2】如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.证明：如右图，连接、、，则.∵，∴为等腰三角形.又知D为其底边的中点，∴.∵，，∴.又，∴.∵为直角三角形，D为的中点，∴，.又，，∴..即CD⊥DM.∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM.类型三、直线和平面所成的角3．如图所示，已知∠BOC在平面内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角.解析：∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴△AOB、△AOC为正三角形，∴.∵，∴，∴△ABC为直角三角形.同理△BOC也为直角三角形.过A作AH垂直平面于H，连接OH，∵AO=AB=AC，∴OH=BH=CH，H为△BOC的外心.∴H在BC上，且H为BC的中点.∵Rt△AOH中，，∴，∴∠AOH=45°.即AO和平面所成角为45°.总结升华：(1)确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解.(2)求斜线与平面所成的角的程序：①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求解；③把该角放入三角形计算.(3)直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面所成角时，应想到以上两种情况.举一反三：【变式1】如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是________.答案：解析：如右图.由题取AC中点O，连接BO.则BO⊥平面.故为与平面所成角.又在中，，.∴，∴.类型四、二面角4．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.解析：取BC的中点E，连接AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC，∴DE⊥BC.∴∠AED为二面角的平面角.又∵△ABC≌△BDC，∴AD=BC=2，在Rt△DEB中，DB=，BE=1，∴，同理.在△AED中，∵，，∴，∴∠AED=90°.∴以面BCD和面ABC为面的二面角大小为90°.总结升华：确定二面角的平面角，常常用定义来确定.举一反三：【变式1】已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小.解析：如图，在平面内延长DE和交于点F，则F是面与面的公共点，为这两个平面的交线，∴所求二面角就是的平面角.∵，且，∴E、分别DF和A1F的中点.∵，∴.又面，面，∴面，而面.∴.∴是二面角的平面角，由已知，∴.总结升华：当所求的二面角没有给出它的棱时，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小即可.类型五、平面与平面垂直的判定5．在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示.求证：平面ABD⊥平面BCD.证明：∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.在△ABD中，，，∴.同理.在△AEC中，，，由于，∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.总结升华：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是(1)找出两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相垂直.举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.证明：∵AB=BC，CD=AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.总结升华：证面面垂直的方法：(1)证明两平面构成的二面角的平面角为90°；(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题.【变式2】如图所示，在Rt△AOB中，，斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB的中点.求证：平面COD⊥平面AOB；证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又∵二面角B-AO-C是直二面角.∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB.又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.【变式3】过点P引三条长度相等但不共面的线段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求证：平面ABC⊥平面BPC.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC，AE⊥BC，直角△ABE中，，，，在△PEA中，，，∴，平面ABC⊥平面BPC.类型六、综合应用6．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．证明：(1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．总结升华：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN⊥平面ECA，应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．7．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．思路点拨：要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC 的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA=45°，E为PD的中点．∴AE⊥PD，即MN⊥PD．又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．总结升华：本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题．(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直是转化规律．学习成果测评基础达标1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).A. B.C. D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).A. B. C. D.或4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).A.a与b可能垂直，但不能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能平行，也不能垂直6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若，则；②若，则届那么( ).A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：①若且，则m∥n；②若且，则；③若且，则；④若且，则m∥n.其中真命题的序号是( ).A.①②B.③④C.①④D.②③8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.A.③④B.①③C.②④D.①②9.下面四个命题：①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是( ).A.0个B.1个C.2个D.3个10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，则.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.311.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)12.长方体中，MN在平面内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是_______.13.如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC.求证：BD⊥面SAC.能力提升1.下面四个命题：①若直线a∥平面，则内任何直线都与a平行；②若直线a⊥平面，则内任何直线都与a垂直；③若平面∥平面，则内任何直线都与平行；④若平面⊥平面，则内任何直线都与垂直.其中正确的两个命题是( )A.①与②B.②与③C.③与④D.②与④2.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( ).A.相等B.互补C.关系无法确定D.相等或互补3.、是两个不同的平面，m、n是平面、外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②⊥；③n⊥；④m⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.4.已知直线PA与平面内过点A的三条直线AB、AC、AD成等角，求证：PA⊥平面.5.已知ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，过点A作AE⊥SB于点E，过点E作EF⊥SC于点F，如图所示.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.综合探究1.已知：如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.参考答案基础达标1.D 内两条直线若相交则；若平行则不能确定与的位置关系.2.D a与b位置关系不能确定.3.D4.D 过P能作无数条直线与平行，这些直线均在过P与平行的平面内.5.C 若，如图，在内可作，则.∴，则，与已知矛盾.∴a与b不可能垂直；当a、b均与平行时，a∥b，故选C.6.D7.D8.B9.B 面面垂直的性质定理对于④显然成立；在①中应考虑两两相交的几种情况，对于三条直线交于一点时，且不在同一平面时，显然不成立；在②中，平面外一点只能引一条直线与平面垂直，但过这条直线的平面有无数个，不是真命题；对于③，若与相交，在两侧且在内一定存在不共线的三点到的距离相等，故不是真命题.10.B 平行于同一平面的两直线可能平行，也可能相交或异面，故①错.平行于同一直线的两平面可能平行，也可能相交，故②也错.11.①③①∵，，∴.∴①正确.②设，，且m∥d时，.故命题②错.③∵，，∴.又，∴.故③正确.④由②知④不正确.12.MN⊥AB 如下图，由长方体的性质知，平面平面ABCD，交线为BC.因为MN在平面内，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD.AB平面ABCD，∴MN⊥AB.13.证明：(1)∵SA=SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，则AD=DC=BD.∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD=D，∴SD⊥面ABC.(2)∵AB=BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴SD⊥BD.∵SD∩AC=D，∴BD⊥平面SAC.能力提升1.B ①是错误的，a与内的一簇平行线平行.②③由线面垂直，面面平行的性质可判断出是正确的.④是错误的.2.C 可类比“空间中一个角的两条边分别垂直于另一个角的两条边”可知，这两个角关系不确定.3.①③④②或②③④①假设①③④为条件，即，，成立，如图.过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥.设垂足为点B，又设，垂足为点A，过PA、PB的平面与、的交线交于点C.∵⊥PA，⊥PB，∴⊥平面PAB.∴⊥AC.⊥BC.∴∠ACB是二面角的平面角.由m⊥n，显然PA⊥PB.∴∠ACB=90°.∴.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.4.证明：如图，在AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE=AF=AG，连接PE、PF、PG、EF、FG，设EF、FG的中点分别为H、I.由已知可得△PAE≌△PAF.∴PE=PF.∵H是EF中点，∴PH⊥EF，AH⊥EF.∴EF⊥平面PAH.∴EF⊥PA.同理可证FG⊥PA.又EF∩FG=F，∴PA⊥平面EFG，即PA⊥平面.5.证明：(1)∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，AE平面SAB.∴BC⊥AE.又AE⊥SB，BC∩SB=B.∴有AE⊥平面SBC，又SC平面SDC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，AE∩EF=E，∴SC⊥平面AEF，AE平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG，又CD⊥AD，CD⊥SA，AD∩SA=A.∴CD⊥平面SAD，AG平面SAD.∴CD⊥AG，又SC∩CD=C，∴AG⊥平面SDC.又SD平面SDC，∴AG⊥SD.综合探究1.证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.∴平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.PC平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于点G.同理可证DG⊥AP.又DG、DF都在平面ABC内.∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线.∴PC⊥BH.∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.2.证明：(1)连接AC，AC交BD于点D.连接EO，如图.∵底面ABCD是正方形.∴点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO平面EDB且PA平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD.∴PD⊥DC.∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。