，
故选 A.
8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019 届高三第三次测评】若函数
上单调递增，则
的最小值是（ ）
A．-3
B．-4
C．-5
D．
【答案】B 【解析】
函数
在 上单调递增，
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在区间
所以
在 上恒成立，
即
在 上恒成立，
令
，其对称轴为
，
当
即
时，
在 上恒成立等价于
由线性规划知识可知，此时
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】 解：∵函数
的定义域是
∴
，
∵ 是函数
的唯一一个极值点
，若 是函数
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∴ 是导函数
∴
在
的唯一根， 无变号零点，
即
在 上无变号零点，令
，
因为 所以 所以
，
在
上单调递减，在 上单调递增
的最小值为
，
所以必须
，
故选：A． 5． 【2019 届山西省太原市第五中学高三 4 月检测】已知函数
对
恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意设
，
则
，
所以函数 在 上单调递增，
所以
，即
．
故选 B．
3．【辽宁省抚顺市 2019 届高三一模】若函数
有三个零点，则实数 的取值范围是
()
A．
B．
C． 【答案】D 【解析】 由
D．
得
，
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设 由 由 即当 当 当
，则
得
得
或
， ，此时函数 为增函数，
得
得
，此时函数 为减函数，
时， 取得极小值
，
时，
取得极大值 ，且
， ，函数图象如下图所示：
要使 有三个零点，
则
，
即实数 a 的取值范围是
，故本题选 D．
4．【辽宁省师范大学附属中学 2019 届高三上学期期中】已知函数
的唯一极值点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．
又因为 是在 上的偶函数，所以 是在 上的奇函数，
所以 是在 上的单调递增函数，
又因为
，可化为
，
即
，又因为 是在 上的单调递增函数，
所以
恒成立，
令
，则
，
因为 ，所以 在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
，
所以
.
所以正整数 的最大值为 2.
故选：B
11．【2019 届高三第二次全国大联考】已知定义在 上的可导函数
，解得 ，
【举一反三】【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知函数 是定义在 上的可导函数，对于任意的
实数 x，都有
，当 时
，若
，则实数 a 的取值范围是
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】
令
，则当 时，
，
又
，所以 为偶函数，
从而
等价于
，
因此
选 B.
3．利用 f x 与 sin x ， cos x 构造
则
又
得
即
，所以
即
，
由
得
由
得
，得 ，得
，此时函数 为增函数 ，此时函数 为减函数
则
，即
，则
，故 错误
，即
，则
当 时， 取得极小值
即当 ，
，即
当 时， 取得极小值
，故 错误
，即
，故 错误
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此时
，则 取得极大值
本题正确选项：
2．利用 f x 与 ex 构造
f x 与 ex 构造，一方面是对 u v ， u 函数形式的考察，另外一方面是对 ex ex 的考察．所以对于 v
f
x 单调递减．又
f
x 为偶函数，根据单调性和图象可
知选 B．
【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数 f x x sin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解
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即可．
【举一反三】【福建省 2019 届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数
，
于 的方程
在区间 内有两个实数解，则实数 的取值范围是( )
则 g′（x）=
，当
时，g′（x） 0，当
时，g′（x） 0，
∴g（x）在 上单调递增，在 上单调递减，当 x= 时，g（x）取得极大值 g（ ）=
，
又 g（0）= g（ ）=0，则 a=
故选 B.
【强化训练】
一、选择题
1．【山西省 2019 届高三百日冲刺】已知函数
，故选 A ，通过构造函数，进一步确定
的最大值，利用导数，结合 的单调性，即可求解.
【举一反三】【河北省唐山市 2019 届高三下学期第一次模拟】设函数
，
一个零点，则实数 的值为（ ）
有且仅有
A． 【答案】B 【解析】 ∵函数
B．
C．
D．
，有且只有一个零点，
∴方程
，
，有且只有一个实数根，
令 g（x）= ，
sin x ， cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．
F x f xsin x ， F x f xsin x f xcos x ；
Fx
f x ， F x
sin x
f xsin x f x cos x
sin2 x
；
F x f xcos x ， F x f xcos x f xsin x ；
x
v
u 的导函数观察可得知， u v 型导函数中体现的是“ ”法， u 型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可
v
v
以猜测，当导函数形式出现的是“ ”法形式时，优先考虑构造 u v 型，当导函数形式出现的是“ ” 法形式时，
优先考虑构造 u ． v
例 1.【2019 届高三第二次全国大联考】设
；
当
即
时，
在 上恒成立等价于
，即
；
当
即
时，
在 上恒成立等价于
此时 综上可知，
； ，故选 .
9．【宁夏六盘山高级中学 2019 届高三二模】定义域为 的奇函数 ，当
恒成立，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
构造函数
因为 是奇函数，所以
为偶函数
当
时，
恒成立，即
，所以
， ，
，
时，
在
时为单调递减函数
，若对任意的
，
则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
恒成立，
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【答案】D 【解析】 令
当
时，
，
，
.
，则 在
上单调递增，又
，所以
恒成立；
当
时，因为
在
上单调递增，故存在
所以 又 综上
，使得
，
在
上单调递减，在
，则
，这与
.故选 D.
上单调递增， 恒成立矛盾，
2．【海南省海口市 2019 届高三高考调研】已知函数 的导函数 满足
为 上的偶函数，且当 时函数 满足
，
A．
C．
【答案】A
【解析】
设
，
，则
的解集是（ ）
B． D．
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则
，
∴
，
化简可得
.
设
，
∴
，
∴
时，
，因此 为减函数，
∴
时，
，因此 为增函数，
∴
，
∴
，
∴在 ∵函数
上为增函数. 是偶函数，
∴函数
，
∴函数关于 对称，
又∵
，
即
，
又在
上为增函数，
∴
，
由函数关于 对称可得，
为函数 的导函数，且满足
，若
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，由
，可得 的对称轴为 ，所以
，所以 ，
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所以
，由 ，即
可得 ，设
，变形可得 ，
，易得函数 在区间 上单调递增， 在区间
上
单调递减，所以 【指点迷津】根据
，故实数 b 的取值范围为 ，变形可得
，
再令 m（x）＝2lnx 2，x∈（0， ），
则 m′（x）
0，
故 m（x）在（0， ）上为减函数，于是 m（x）＞m（ ）＝2﹣2ln2＞0，
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从而 l′（x）＞0，于是 l（x）在（0， ）上为增函数，
所以 l（x）＜l（ ）＝2﹣4ln2， 故要使 a＞2 恒成立，只要 a∈[2﹣4ln2，+∞）.
f
x
f x 类型，我们可以等同 xf
x ，
f
x
的类型处理，
“ ”法优先考虑构造 F x
f
xex ，
x
“ ”法优先考虑构造 F x
f x
．
ex
例 2、【湖南省长郡中学 2019 届高三下学期第六次月考】已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都