第三组诱导公式： 第四组诱导公式： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( 第五组诱导公式： 第六组诱导公式： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(3. 两角和与差的余弦、正弦和正切：两角差的余弦公式： βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-两角和的余弦公式： βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+两角和的正弦公式： βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+两角差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-两角和的正切公式：)tan tan 1()tan(tan tan tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβαβαβα-⋅+=+⇒-+=+两角差的正切公式： )tan tan 1()tan(tan tan tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβαβαβα+⋅-=-⇒+-=-※，)sin(cos sin 22βααα++=+b a b a 其中（通常取）由，确定。

βπβ20<≤22cos ba a +=β22sin ba b +=β4. 二倍角与半角的正弦、余弦和正切：二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin ⋅=二倍角的余弦公式： ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2sin -=-=-=二倍角的正切公式： ααα2tan 1tan 22tan -=半角的余弦公式：2cos 12cos ββ+±=半角的正弦公式： 2cos 12sin ββ-±=半角的正切公式：，，βββcos 1cos 12tan+-±=βββcos 1sin 2tan +=βββsin cos 12tan -=ββββsin cos 1cos 1sin -=+⇒万能置换公式：，，2tan 12tan2sin 2ααα+=2tan 12tan 1cos 22ααα+-=2tan 12tan2tan 2ααα-=二、典型例题：三角比的化简、计算和证明恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！其次看三角比名称之间的关系，通常“切化弦”。

再次观察代数式的结构特点。

基本技巧有：（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。

例如：，， ，ββαββαα+-=-+=)()()()()()(2αβαββαβαα--+=-++=22βαβα+⋅=+等等。

)2()2(2βαβαβα---=+【例1】 已知，，那么 _____（答：）52)tan(=+βα41)4tan(=-πβ=+)4tan(πα223【例2】已知，且，，则______（答：παπβ<<<<2091)2cos(-=-βα32)2sin(=-βα=+)cos(βα） 729490（2）三角比名称互化（切化弦）：【例3】求值（答：1）)10tan 31(50sin oo +（3）公式变形使用：)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±【例4】已知A 、B 为锐角，且满足，则_____（答：） 1tan tan tan tan ++=B A B A =+)cos(B A 22-（4）三角比次数的升降：本质-----倍角公式和半角公式【例5】若，化简为_____（答：） )23,(ππα∈α2cos 21212121++2sin α（5）式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)：【例6】求证：2tan 12tan 12sin 21sin 12αααα-+=-+（6）常值变换-----主要指“1”的变换：【例7】已知，求（答：）2tan =ααααα22cos 3cos sin sin -+53（7）正余弦“三兄妹”---“，”：知一求二x x cos sin ±x x cos sin 【例8】若，则= __（答：)； 特别提醒：这里t x x =±cos sin x x cos sin 212-±t ]2,2[-∈t（8）辅助角公式： (其中角所在的象限由a , b 的符号确定，角的值)sin(cos sin 22βααα++=+b a b a ββ由确定)在求最值、化简时起着重要作用。

ab=βtan 【例9】若方程有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）c x x =-cos 3sin三、课堂练习：1．若，则使成立的的取值范围是_______________（答：） π≤≤x 0x x 2cos 2sin 12=-x ],43[]4,0[πππ2．已知，，则___________（答：） 53sin +-=m m θ524cos +-=m m θ)2(πθπ<<=θtan 125-3．已知，则______；_______（答：；）11tan tan -=-αα=+-ααααcos sin cos 3sin =+⋅+2cos sin sin 2ααα35-3134．已知，则_______（答：B ）a o=200sin =o160tan A 、 B 、 C 、 D 、21a a--21aa-a a 21--a a 21-5．的值为______________（答：） πππ21sin )67tan(49cos+-+3322-6．已知，则，若为第二象限角， 54)540sin(-=+αo______)270cos(=-oαα则=________。

（答：；） )180tan()]360cos()180[sin(2ααα+-+-oo o 54-1003-7．命题P ：，命题Q ：，则P 是Q 的_________（答：C ）0)tan(=+B A 0tan tan =+B A A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件　D 、既不充分也不必要条件 8．已知，那么（答：） 53sin )cos(cos )sin(=---αβααβα______2cos =β2579．______（答：4）=-oo 80sin 310sin 110．已知为锐角，,，，则与的函数关系为______巧变角 βα,x =αsin y =βcos 53)cos(-=+βα（答：） x x y 541532+--=)153(<<x 11．已知，，求（答：）切化弦 12cos 1cos sin =-ααα32)tan(-=-βα______)2tan(=-αβ8112．设中，，，则此三角形是_____________三角形ABC ∆B A B A tan tan 33tan tan =++43cos sin =A A （答：等边）公式变形使用13．函数的单调递增区间为__________________三角比次数的升降 )(325cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-=（答：） )](125,12[Z k k k ∈+-ππππ14．化简：（答：）式子结构的转化 )4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππx 2cos 2115．若，，求的值。

（答：）正余弦三兄妹),0(πα∈21cos sin =+αααtan 374+-16．已知，试用k 表示的值（答：）正余弦三兄妹 k =++αααtan 1sin 22sin 2)24(παπ<<ααcos sin -k -117．当函数取得最大值时，的值是______(答：) 辅助角公式 x x y sin 3cos 2-=x tan 23-18．如果是奇函数，则= (答：－2) 辅助角公式 )cos(2)sin()(ϕϕ+++=x x x f ϕtan 19．求值：________(答：32) 辅助角公式 =+-ooo 20sin 6420cos 120sin 3222斜三角形一、知识点梳理：§1.4正弦定理和余弦定理： 三角形面积公式： C ab B ac A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 正弦定理：（R 为的外接圆半径） R CcB b A a 2sin sin sin ===ABC ∆余弦定理：，，bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=解题思想：采用“边”化“角”或“角”化“边”的思想．二、典型例题：【例1】在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．26236解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b ＝＝.a sin Ab sin B a sin Bsin A6【例2】在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B baA ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，b a sin B sin A cos A cos B sin Bsin Asin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝.π2【例3】在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6B ．2C ．3D ．4 666解析：选A.由余弦定理，得AC ＝＝ ＝6.AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 42＋62－2×4×6×13【例4】在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．3解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(2)2－2＝10， 3∴AB ＝.10三、课堂练习：1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、3C 2C 214A2c .解：由sin cos ＝，得sin C ＝，C 2C 21412又C ∈(0，π)，所以C ＝或C ＝.π65π6由sin B sin C ＝cos 2，得A2sin B sin C ＝[1－cos(B ＋C )]，12即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝，B ＝C ＝(舍去)，π65π6A ＝π－(B ＋C )＝.2π3由正弦定理＝＝，得a sin Ab sin B csin Cb ＝c ＝a ＝2×＝2.sin B sin A 31232故A ＝，B ＝，b ＝c ＝2. 2π3π62．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33解：由S ＝ab sin C 得，15＝×60×sin C ，123123∴sin C ＝，∴∠C ＝30°或150°.12又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝60，＝，∴b ＝2.3a sin A bsin B15当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为2.153．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．5π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，AB sin C BCsin A得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin Csin A5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 255于是sin A ＝＝.1－cos 2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝.35所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.π4π4π42104．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得＝.sin C sin B cb由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝＝.sin C 2sin B c2b又根据余弦定理，得cos A ＝，所以＝，b 2＋c 2－a 22bc c 2b b 2＋c 2－a 22bc即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ， 因此△ABC 为等边三角形．【学生总结】：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【教师寄语】：春天是碧绿的天地，秋天是黄金的世界。