第2章 流体静力学【题2-1】如图2-1所示，一圆柱体,1.0m d =质量,50kg m =在外力N F 520=的作用下压进容器中，当m h 5.0=时达到平衡状态。

求测压管中水柱高度H=？图2-1 题2-1示意图解 γπ⨯+=+)(42h H d mg F m h d mg F H 6.125.081.99981.040404)(22=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯+=πγπ【题2-2】两个容器A 、B 充满水，高度差为a 。

为测量它们之间的压强差，用顶部充满油的倒U 形管将两个容器相连，如图2-2所示。

已知油的密度。

油m a m h m kg 1.0,1.0,/9003===ρ求两容器中的压强差。

图2-2 题2-2示意图解 ：（略）参考答案：Pa p p B A 1075=-【题2-3】如图2-3所示，直径m d m D 3.0,8.0==的圆柱形容器自重1000N ，支撑在距液面距离m b 5.1=的支架上。

由于容器内部有真空，将水吸入。

若,9.1m b a =+求支架上的支撑力F 。

图2-3 题2-3示意图解: 略【题2-4】如图2-4所示，由上下两个半球合成的圆球，直径d=2m,球中充满水。

当测压管读数H=3m 时，不计球的自重，求下列两种情况下螺栓群A-A 所受的拉力。

（1） 上半球固定在支座上；（2） 下半球固定在支座上。

图2-4 题2-4示意图解 ：略【题2-5】矩形闸门长1.5m,宽2m(垂直于图面)，A 端为铰链，B 端连在一条倾斜角045=α的铁链上，用以开启此闸门，如图2-5所示。

量得库内水深，并标在图上。

今欲沿铁链方向用力T 拉起此闸门，若不计摩擦与闸门自重，问所需力T 为若干？图2-5 题2-5示意图解 ：略【题2-6】 如图2-6所示测量装置，活塞直径,35mm d =油的密度3/918m kg =油ρ，水银的密度3/13600m kg Hg =ρ，活塞与缸壁无泄露和摩擦。

当活塞重为15N 时，,700mm h =试计算U 形管测压计的液面高差h ∆值。

图2-6 题2-6示意图解：重物使活塞单位面积上承受的压强为Pa d p 15590035.041541522=⨯==ππ列等压面1-1处的平衡方程h g gh p Hg ∆=+ρρ油解得h ∆为cm h g ph Hg 4.1670.013600918806.91360015590Hg =⨯+⨯=+=∆ρρρ油【题2-7】如图2-7所示为双杯双液微压计，杯内和U 形管内分别装有密度31/1000m kg =ρ和密度32/13600m kg =ρ的两种不同液体，大截面杯的直径,100mm D =U 形管的直径,10mm d =计算两杯内的压强差为多少？图2-7 题2-7示意图解：列1-2截面上的等压面方程gh h h h g p gh p 22112111)(ρρρ+-++=+由于两边密度为1ρ的液体容量相等，所以,222h d h D =代入上式得Pah g Dd g p p 6.370903.0]806.91000)1.001.01(806.913600[])1([22122221=⨯⨯⨯--⨯=--=-ρρ【题2-8】 用双U 形管测压计测量两点的压强差，如图2-8所示，已知两点的压强差。

和试确定B A ,/800,/1000,500,300,200,250,600323154321m kg m kg mm h mm h mm h mm h mm h =======ρρ图2-8 题2-8示意图 解：根据等压面条件，图中1-1、2-2、3-3均为等压面。

可应用流体静力学方程式gh p p ρ+=0逐步推算。

111gh p p A ρ+=2312gh p p ρ+=3223gh p p ρ+=4334gh p p ρ-=)(4514h h g p p B -+=ρ逐个将式子代入下一个式子，则)(45143322311h h g gh gh gh gh p p A B ---+-+=ρρρρρ所以 Pa gh h h g gh gh gh p p B A 678766.01000806.925.01334002.078503.0133400)3.05.0(1000806.9)(11451433223=⨯⨯-⨯+⨯-⨯+-⨯⨯=--++-=-ρρρρρ【题2-9】 已知密闭水箱中的液面高度,604cm h =测压管中的液面高度,1001cm h =U 形管中右端介质高度,202cm h =如图2-9所示。

试求U 形管中左端工作介质高度3h 为多少？图2-9 题2-9示意图解：列1-1截面等压面方程，则g p g p h h g p p O H a O H a O H a 2224.0)6.00.1()(410ρρρ+=-+=-+=列2-2截面等压面方程，则)2.0()6.0(4.0330222h g p h g g p O H a O H O H -+=-++ρρρ)(5.136)(1365.01000136001000136002.02.0223mm m h O H Hg OH Hg ==--⨯=--=ρρρρ【题2-10】 图2-10表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为,4221m h m h ==、试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。

图2-10 题2-10示意图解：淹没在自由液面下1h 深的矩形水闸的形心。

21h h y c c == 每米宽水闸左边的总压力为)(1961229806212112F 221111N gh h h g A gh C =⨯⨯==⨯==ρρρ F 1的作用点位置m h b h h bh h A y I y y c cx c p 323221121211113111==+=+=即F 1的作用点位置在离底m h 32311=处。

淹没在自由液面下2h 深的矩形水闸的形心。

22h h y c c ==每米宽水闸右边的总压力为)(78448498062121F 2222N gh =⨯⨯==ρ 即F 2的作用点位置在离底m h 34312=处。

每米宽水闸上所承受的净总压力为N F 588361961278448F F 12=-=-=假设净总压力的作用点离底的距离为h,可按力矩方程求得其值。

围绕水闸底O 处的力矩应该平衡，即331122h F h F Fh -=m F h F h F h 56.158836321961247844831122=⨯⨯-⨯=-=【题2-11】圆弧形闸门长,5m b =圆心角,600=ϕ半径,4m R =如图2-11所示。

若弧形闸门的转轴与水面齐平，求作用在弧形闸门上的总压力及其作用点的位置。

图2-11 题2-11示意图解 弧形闸门的水深m R h 464.360sin 4sin 0=⨯==ϕ弧形闸门上总压力的水平分力N hb h g A gh F x c x 7.2941925464.35.0807.9100022=⨯⨯⨯⨯===ρρ垂直分力NhR R g gV F P z 240729560cos 4464.32136060414.3807.91000cos 21360022=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ϕϕπρρ 弧形闸门上的总压力N F F F z x 3.3801312407297.2941922222=+=+=总压力与z 轴间的夹角为θ071.507.294192240729arctan arctan ===z x F F θ 对圆弧形曲面，总压力的作用线一定通过圆心，由此可知总压力的作用点D 距水面的距离D h 为m R h D 53.271.50cos 4cos 0=⨯==θ【题2-12】 如图2-12所示的贮水容器，其壁面上有三个半球形盖，设。

m H m h m d 5.2,5.1,1===试求作用在每个盖上的液体总压力。

图2-12 题2-12示意图解 （1）盖底上所受到的力作用在底盖左半部分和右半部分的总压力的水平分力相等，而方向相反，故水平分力的合力为零。

底盖上的总压力等于总压力的垂直分力，实压力体，垂直分力向下。

()Nd h H d g gV F z 3.2758612175.05.24198071224323211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ππππρρ （2）顶盖上的总压力的水平分力亦为零，总压力等于总压力的垂直分力，虚压力体，垂直分力向上。

()Nd h H d g gV F z 2.1090612175.05.24198071224323222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ππππρρ （3）侧盖上总压力的水平分力为N d gH A gh F x c x 2.19246415.298074223=⨯⨯===ππρρ实压力体，垂直分力向下，垂直分力大小为N d g F z 2.256641980712233=⨯==ππρ故侧盖上总压力的大小与方向为N F F F z x 5.194162.25662.192462223233=+=+=总压力的作用线一定通过球心，与垂直线夹角为0334.822.25662.19246arctan arctan ===z x F F θ【题2-13】 图2-13所示为一水箱，左端为一半球形端盖，右端为一平板端盖。

水箱上部又一加水管。

已知,150,600mm R mm h ==试求两端盖所受的总压力及方向。

图2-13 题2-13示意图解 （1）右端盖是一圆平面，面积为2R π=右A其上作用的总压力有NA g 52015.014.3)15.06.0(806.910)R h F 23=⨯⨯+⨯⨯=+=右右（ρ方向垂直于端盖水平向右。

（2）左端盖是一半球面，分解为水平方向分力左x F 和垂直方向分力左z FNR g A g x x 52015.014.3)15.06.0(806.910)R h )R h F 232=⨯⨯+⨯⨯=+=+=πρρ（（左方向水平向左。

垂直方向分力由压力体来求，将半球面分成AB 、BE 两部分，AB 部分压力体为ＡＢＣＤＥ０Ａ，即图中左斜线部分，记为V ＡＢＣＤＥ０Ａ，它为实压力体，方向向下；BE 部分压力体为BCDEB ，即图中右斜线部分，记为V BCDEB ，它为虚压力体，方向向上。

因此总压力体为它们的代数和。

A ABE BCDEB A ABCDE P V V V V 00=-=V P 正好为半球的体积，所以33421R V P π⨯=NR g gV F P z 3.6915.014.332806.91032233=⨯⨯⨯⨯===πρρ左方向垂直向下。