回归分析是研究变量之间相关关系的统计学方法，它描述的是变量间不完 全确定的关系。回归分析通过建立模型来研究变量间的这种关系，既可以用于 分析和解释变量间的关系，又可用于预测和控制，进而广泛应用于自然科学、 工程技术、经济管理等领域。本文尝试用一元线性回归分析方法为微生物生长 与温度之间的关系建模，并对之后几年的情况进行分析和预测。
值，若 F> Fα(1，n-2)时，拒绝 H0，表明回归效果显著；若 F≤Fα(1，n-2)，接
受 H0，此时回归效果不显著。
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2 一元回归分析法的应用
2.1 分析实例 某微生物的生长天数与当年三月上旬平均气温的数据如表 1 所示，分析三
月上旬平均温度与微生物生长之间的关系。
常假定 E(εi)=0，Var(εi)=σ2 各 εi 相互独立且服从正态分布。回归分析就是根据样
本观察值寻求 0, 1的估计 ˆ0 , ˆ1 ，对于给定 x 值, 取 Yˆ ˆ0 ˆ1x ，作为
E(Y ) 0 1x 的估计，利用最小二乘法得到 0, 1的估计 ˆ0 , ˆ1 ，其中
ˆ
0
ˆ1
一元线性回归分析论 文
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一元线性回归分析的应用
——以微生物生长与温度关系为例
摘要：一元线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的线性关系的 预测方法。应用最小二乘法确定直线，进而运用直线进行预测。本文运用一元 线性回归分析的方法，构建模型并求出模型参数，对分析结果的显著性进行了 假设检验，从而了微生物生长与温度间的关系。 关键词：一元线性回归分析；最小二乘法；假设检验；微生物；温度
Lxx Lyy
全线性相关，| r |=0 时表示不存在线性相关；0< | r |≤0.3 为微弱相关，0.3< | r
|≤0.5 时为低度相关，0.5< | r |≤0.8 为显著相关，0.8<
从总体中随机抽取一个样本，根据样本的数据导出的线性回归方程由于受
Model 1
R 计算=1 0.771
表 2 全回归模式
R Square
Adjusted R Square
Std,Error of the Estimate
0.595
0.544
1.167
表 2 中 R 为相关系数，R Square 为相关系数的平方，即判定系数用来判定 线性回归的拟合程度，用自变量解释因变量的变异程度（所占比例）； Adjusted R Square 为调整后的判定系数，Std,Error of the Estimate 为估计标准误 差。
n
def
( yi y)2 称为关于 Y 的离差平方和，LLxxxy=
n
S( x总i
n
x)2
(yi
n
yx)i 2
2
nx
i 1
i 1
i 1 i 1
称为关于 X 与 Y 的离差积和。
相关系数r=
n
(xi x)(Yi Y )
i1
n
n
(xi x)2 (Yi Y )2
i1
i1
Lxy ，0≤ | r |≤1。| r |=1 时表示完
表 1 三月上旬温度与微生物生长天数的情况表
年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 温度℃ 8.6 8.3 9.7 8.5 7.5 8.4 7.3 9.7 5.4 5.5
天数 3
5
3
1
4
4
5
2
7
5
2.2 分析结果
将数据输入 SPSS 中进行运算，选择线性回归分析。分析结果如表 2 所 示。自变量是“温度”，因变量是“微生物生长天数”。
y xˆ1
n
xi yi
i1
n xy
n
xi2
2
nx
i1
。
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1.2 相关系数
def
上述回归方程存在一些计算相关系数。设 LLxXxX=
n
n
(xi x)2 ，称x为i2 关 n于x2 X 的
i 1
i 1
离差平方和；LS总yy=
到抽样误差的影响，所确定的变量之间的线性关系是否显著，以及按照这个模
型用给定的自变量 X 估计因变量 Y 是否有效，必须通过显著性检验才可以作出
结论，通常所用的检验方法是 F 检验。
线性回归模型 Y 0 1x ， ~ N(0, 2 ) 可知，当 1 0 时，就认为 Y 与 x
之间不存在线性回归关系，故需检验如下假设： H0 : 1 0, H1 : 1 0 ，
n
n
n
n
S总 ( yi y)2 = ( yi yˆi )2 ( yˆi y)2 为总偏差平方和，令 S回 ( yˆi y)2 ，
i 1
i 1
i 1
i 1
S 剩
n i 1
(yi
yˆi ) 2 。当
H0 为真时，取统计量
F
S回 S剩(n 2)
~
F(1, n 2)
，由给定显著
性水平 α，查表得 Fα(1，n-2)，根据实验数据 (x1, y1),(x2, y2),,(xn, yn ) 计算 F 的
表 4 回归模型系数表
Model Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients
B
Std.Error
Beta
Constant 10.911
2.078
温度
0.889
0.259
0.771
t
Sig
5.250 0.001 3.428 0.009
从上面的分析结果可知，三月份的平均温度与微生物生长天数关系极为密
1 一元线性回归分析法原理
1.1 问题及其数学模型 一元线性回归分析主要应用于两个变量之间线性关系的研究，回归模型模
型为 Y 0 1x ，其中 0, 1为待定系数。实际问题中，通过观测得到 n 组数
据（Xi，Yi）（i=1,2,…,n）,它们满足模型 yi 0 1xi i （i=1,2,…,n）并且通
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Model Sum of Squares
Regression
16.003
Residual
10.897
Total
26.900
表 3 方差分析表
df
Mean Square
F
1
16.003
11.478
8
1.362
9
Sig 0.009
由表 3 可以看出 F 值为 11.748，显著性概率为 0.009，表明回归极显著。