2017年高考数学空间几何高考真题•选择题（共9小题）1 •如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（）A. nB.C.D.3. 在正方体ABCD-A iB i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( )A. A i E± DC iB. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A. 60B. 30C. 20 D . i0侧〔左）视圄C5•某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（ ）6•如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D -A .产 aVB B. aV 产 BC ・ a< Y D. p< 产 a7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三D . +3+14 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A . 10 B. 12 C. 14 D . 162. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（）A . B. C. D. 二.填空题（共5小题）8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ .9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的 表面积为 _______ .10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ________ .11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_______ .412•如图，在圆柱O1O2内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V i，球0的体积为V2，则——的值是_________ .三•解答题(共9小题)13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB// CD,且/ BAP2 CDP=90.(1)证明：平面PABL平面PAD(2)若PA=PD=AB=D，/ APD=90，且四棱锥P-ABCD的体积为善，求该四棱14. 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD AB=BC^AD,Z BAD二/ ABC=90.(1) 证明：直线BC/平面PAD(2) 若△ PCD面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.15. 如图四面体ABCD中，△ ABC是正三角形，AD=CD(1)证明：AC丄BD;(2)已知△ ACD是直角三角形，AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点，且AE丄EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.16. 如图，直三棱柱ABC- A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC- A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小.17. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA丄AB, PAIBC, AB丄BC, PA=AB=BC=2 D 为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PAL BD;(2)求证：平面BDEX平面PAC(3)当PA//平面BDE时，求三棱锥E- BCD的体积.18. 如图，在四棱锥P- ABCD中，AD丄平面PDC, AD// BC, PD丄PB, AD=1, BC=3 CD=4, PD=2(I )求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(n )求证：PD丄平面PBC(川)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.A19. 如图，已知四棱锥P- ABCD △ PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC // AD, CD丄AD，PC=AD=2DC=2CBE为PD 的中点.(I )证明：CE//平面PAB(n)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.B °20. 由四棱柱ABCD- A1B1C1D1截去三棱锥C i - B i CDi后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E丄平面ABCD,(I )证明：AQ//平面BiCD;(n)设M是OD的中点，证明：平面A1EM丄平面B1CD1.21. 女口图，在三棱锥A—BCD中，AB丄AD, BC丄BD,平面ABD丄平面BCD,点E、F (E与A、D不重合)分别在棱AD, BD上，且EF丄AD.求证：(1) EF//平面ABC;(2) AD丄AC.3. 如图，在四棱锥P— ABCD中，AB// CD,且/ BAPN CDP=90.(1)证明：平面PABL平面PAD(2)若PA=PD=AB=D, / APD=90,求二面角A—PB- C的余弦值.4. 如图，四棱锥P- ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCDAB=BC=-AD,Z BAD二/ ABC=90, E 是PD 的中点.(1)证明：直线CE//平面PAB(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M - AB - D的余弦值.号-------- C一^5. 如图，四面体ABCD中，△ ABC是正三角形，△ ACD是直角三角形，/ ABD= / CBD AB=BD.(1)证明：平面ACD丄平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE- C的余弦值.6. 如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD丄平面ABCD 点M 在线段PB上, PD//平面MAC，PA=PD亍AB=4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B- PD- A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.7. 如图，在三棱锥P- ABC中，PAL底面ABC,/ BAC=90.点D，E, N分别为棱PA PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4 AB=2.(I )求证：MN //平面BDE(U)求二面角C- EM - N的正弦值；(川)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.8•如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点.(I)设P是上的一点，且AP I BE,求/ CBP的大小；(U)当AB=3, AD=2时，求二面角E-AG-C的大小.2017年高考数学空间几何高考真题参考答案与试题解析•选择题（共7小题）1 •如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M ， N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）B.CD.【解答】解：对于选项B,由于AB// MQ,结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C,由于AB// MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D,由于AB// NQ,结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A.2. 已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（）A. nB.C.D.【解答】解：•••圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，•••该圆柱的体积:3. 在正方体ABC—A iB i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( )A. A i E± DC iB. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC【解答】解：法一：连B i C,由题意得BC丄BiC,••• A1B1 丄平面B i BCG, 且BG 平面B i BCG,•A i B i 丄BCi,••• A i B i n B i C=B,•BG丄平面A i ECB,••• A i E平面A i ECB,•A i E 丄BG.故选：C.法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD i为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD- A i B i C i D i中棱长为2,则A i (2, 0, 2), E (0, i, 0), B (2, 2, 0) , D (0 , 0 , 0) , C i (0 , 2 , 2), A (2 , 0 , 0), C (0 , 2 , 0),=(-2 , i , - 2) , = (0 ,2 , 2),= (-2, - 2 , 0),=(-2 , 0 , 2), = (-2 , 2 , 0),••• =- 2 , 〕・t：. =2 , , 1- .：=0 , : . I - ,..i： =6 , • A i E 丄BG.故选：C.4•某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A. 60B. 30C. 20D. 10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥,该三棱锥的体积二•二-—：,=10.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm2）故选：D.【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3,故该几何体的体积为丄nX 12x 3丄X—XXX 3=+1,2 3 3 2故选：A6.如图，已知正四面体D-ABC（所有棱长均相等的三棱锥）,P、Q、R分别为AB、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角D- PR- Q，D- PQ- R, D-A. Y< aV BB. aV y< BC. aV p< YD. p< y< aD. +3QR- P的平面角为a B、Y 则（是（）【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系•设底面厶ABC的中心为0. 不妨设0P=3 则0(0, 0, 0), P (0,—3, 0), C (0, -6, 0), D (0, 0, 6), Q：| , RT 1'■= (■2 何3, 0) , = (0, 3, 6), = (, 5, 0),_2?0),=：_ _ • —:?.设平面PDR的法向量为石二(x , y , z),则；丁吁°,可得严忌+曲可得&〈晶砸,T),取平面ABC的法向量匚=(0 , 0 , 1).则cos「. ]-=「「〔=,取a =arccos同理可得：B =arcco.s 丫=arcco.s二aV Y^ B解法二：如图所示,连接OP, OQ, OR,过点0分别作垂线：0E丄PR OF丄PQ , 0G 丄QR,垂足分别为E , F , G,连接DE, DF, DG.设OD=h.则tan a s同理可得：tan B= tan 丫.由已知可得：0E> 0G> OF.••• tan V tan V tan B a, B , 丫为锐角.二aV Y V B.B7 •如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A. 90 nB. 63 nC. 42 nD. 36 n【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=n3x 10 —丄冗3乂6=63n2故选：B.1某多面体的二视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A. 10B. 12C. 14D. 16【解答】解：由三视图可画出直观图, 该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形—X 2X（2+4）=6,•••这些梯形的面积之和为6X 2=12,故选：B2. 已知直三棱柱ABC- A1B1C1中，/ ABC=120，AB=2 BC=CC=1，则异面直线AB1与BG所成角的余弦值为（）A . B. C. D.【解答】解：【解法一】如图所示，设 M 、N 、P 分别为AB , BB 和B i G 的中点, 则AB 、BC i 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知 MN==ABi =，2NP 丄 BC=；2作BC 中点0,则厶PQM 为直角三角形；••• PQ=1, MQ—AC, 2△ ABC 中，由余弦定理得AC^AB ^+BC 5- 2ABBCco ? ABC=4+1 - 2X 2X 1x （—二）2=7,••• AC=••• MQ=;在^ MQP 中，MP= i '=;在厶PMN 中，由余弦定理得又异面直线所成角的范围是（0,],• AB 与BC i 所成角的余弦值为.cos / MNP= MN 2+NP 2-PM【解法二】如图所示,27补成四棱柱ABCD- A i B i C i D i，求/ BC i D即可;BG=, BD= ：. • ； .「…“=,C i D=,••• +BD^=,:丄 DBG=90° cos/ BG|D==.二•填空题（共5小题）8•已知三棱锥S-ABG的所有顶点都在球0的球面上，SC是球0的直径•若平面SCAL平面SGB SA=AG SB=BG三棱锥S-ABC的体积为9,则球0的表面积为36 n .【解答】解：三棱锥S- ABC的所有顶点都在球0的球面上，SC是球0的直径, 若平面SCAL平面SCB SA=AC SB=BC三棱锥S- ABC的体积为9 , 可知三角形SBC 与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r , 可得--■■—■.,解得r=3.kJ 乙球0的表面积为：4冗比36 n故答案为：36 n9. 长方体的长、宽、高分别为3 , 2 , 1,其顶点都在球0的球面上，则球0的表面积为14 n .【解答】解：长方体的长、宽、高分别为 3 , 2 , 1,其顶点都在球0的球面上, 可知长方体的对角线的长就是球的直径，则球0的表面积为：4X ；: I =14n.故答案为：14 n 10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 ____ .【解答】解：设正方体的棱长为a ,•••这个正方体的表面积为18,••• 6^=18,则 a 2=3, 即卩 a=,•••一个正方体的所有顶点在一个球面上，•正方体的体对角线等于球的直径，即 a=2R,即R 」, 2则球的体积V# n （斗）3=;故答案为：. 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的【解答】解：由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V 1=2X 1X 仁2, 圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V 2」X nX 12X 仁，所以球的半径为: 2 2 21-=则该几何体的体积V=V i+2V i =2+,故答案为：2+.12•如图，在圆柱O 1O 2内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 【解答】解：设球的半径为R ,则球的体积为：R 3, 圆柱的体积为：nR R=2nR. 77=卯衣迈三.解答题(共9小题)13. 如图，在四棱锥 P -ABCD 中，AB// CD,且/ BAP2 CDP=90.(1) 证明：平面PABL 平面PAD(2) 若PA=PD=AB=D ,/ APD=90，且四棱锥P -ABCD 的体积为寻，求该四棱【解答】 证明：(1)v 在四棱锥P -ABCD 中，/ BAP=Z CDP=90,记圆柱O 1O 2的体积为V I ，球0的体积为V 2，则 Vi 的值是——故答案为:••• AB 丄 PA CD 丄 PD, 又 AB// CD,： AB 丄 PD,••• PAH PD=P,二 AB 丄平面 PAD,•/ AB 平面PAB •••平面 PABL 平面PAD.解：（2）设 PA=PD=AB=DC=a > AD 中点 O ,连结 PO,••• PA =PD =AB=D,C Z APD=90，平面 PABL 平面 PAD• PO 丄底面ABCD 且 AD=」'=,PO=,•••四棱锥P-ABCD 的体积为-,• Vp -ABCD =- _： - - J -1—=上：匸| ‘一已一..：.-尸=一，解得 a=2 , • PA=PD=AB=DC=2AD=BC=2 PO=,• PB=PC==2•该四棱锥的侧面积：S 侧=S\ PAD +S\PAB +S\PDC +S\ PBC14. 如图,四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面AB=BC^AD , / BAD=Z ABC=90.(1) 证明：直线BC /平面PAD(2) 若△ PCD 面积为2,求四棱锥P -ABCD 的体积.=-1 X-. - 1 j +- ■:—匸 4^-xpDXEC + . - : ■一 I 一丄—「一 - L-- L -' :ABCD CP- ABCD 中，I/ BAD=Z ABC=90.： BC// AD ,iAD 平面PAD, BC 平面PAD, •••直线BC//平面PAD(2)解：四棱锥P- ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ,AB=BC=-AD,Z BAD=/ ABC=90.设 AD=2x,则AB=BC=x CD= O 是AD 的中点，连接PO, OC, CD 的中点为：E ,连接OE,15. 如图四面体 ABCD 中，△ ABC 是正三角形，AD=CD(1) 证明：AC 丄BD;(2) 已知△ ACD 是直角三角形，AB=BD 若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且 AE 丄EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.【解答】证明：（1）取AC 中点0,连结DO B0,•••△ ABC 是正三角形，AD=CD••• DO 丄 AC, BO X AC,则 OE= PO=, PE=］门」=,=2,△ PCD 面积为2,可得: X AB X PO 丄二: :： :- ：=4.即：一〒汀■< j '，解得x=2, PE=2•••DO G B0=0,二 AC 丄平面 BDO, ••• BD 平面 BDO,二 AC 丄 BD.解：（2）法一：连结OE,由（1）知AC 丄平面OBD , • OE 平面 OBD ,二 OE XAC, 设 AD=CD=贝U OC=OA=1 ••• E 是线段AC 垂直平分线上的点，二EC=EA=CD=由余弦定理得:••四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h ,• BE=ED S\ DC E =S\BCE ,•••四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1.法二：设 AD=CD=贝U AC=AB=BC=BD=2AO=CO=DO=1• BO== • BO 2+DC 2=BD 2 , •- BO X DO ,以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C (- 1 , 0 , 0), D (0 , 0 , 1))B (0 , , 0), A (1 , 0 , 0),设 E (a , b , c ), 'I''，, (0W 疋 1),则(a , b , c - 1) =( 0, , - 1),解得 E (0 , , 1-)二=(1, ' 1 ' ) , = (- 1, :- - L ),••• AE 丄 EC, •••如"CL =- 1+3??+ (1 -R 2=0,由? [0, 1],解得，• DE=BE•••四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h , T DE=BE • S \DCE =S\BCE ,•四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1. j BC^+BD^D^L2 吕 OED +BE -CEJ 2BC-EE,解得BE=1或BE=22X2X2 2X2XBE • BE<< BD=2 二 BE=1,二 BE=ED4H-2 4+BE -216. 如图，直三棱柱ABC- A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC- A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小.【解答】解：(1)v直三棱柱ABC- A1B1C1的底面为直角三角形, 两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.•三棱柱ABC- A1B1C1的体积：V=S ABC X AA1J ：_ >=20.(2)连结AM,•••直三棱柱ABC- A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA i的长为5, M是BC中点, ••• AA i 丄底面ABC, AM—：. -— 1 ：.=,•••/ A i MA是直线A i M与平面ABC所成角，A止tan / A i MA=_F ==,AM•直线A i M与平面ABC所成角的大小为arctan.17. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA丄AB, PAIBC, AB丄BC, PA=AB=BC=, D 为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PAL BD;(2)求证：平面BDEX平面PACAB平面ABC, BC平面ABC,且AB A BC=B可得PA丄平面ABC,由BD平面ABC,可得PA 丄BD;(2) 证明：由AB=BC D 为线段AC 的中点,可得BD 丄AC,由PA!平面 ABC, PA 平面PAC可得平面PACL 平面ABC,又平面ABC A 平面ABC=ACBD 平面ABC 且BD 丄AC,即有BD 丄平面PACBD 平面BDE可得平面BDEL 平面PAC(3) PA// 平面 BDE PA 平面 PAC且平面PAC T 平面BDE=DE可得PA / DE,又D 为AC 的中点,可得E 为PC 的中点,且DE=LPA=12由PA!平面ABC,可得DE 丄平面ABC18. 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,AD 丄平面 PDC AD / BC, PD 丄PB, AD=1 , BC=3 CD=4, PD=2(I )求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（n ）求证：PD 丄平面PBCDES BDC =~ X 1 X 1=- 3可得 S ^BDC^-S ^AB# X 丄 X 2X 2=1 ,（川）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【解答】解：（I）如图，由已知AD// BC,故/ DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD丄平面PDC 所以AD丄PD.在Rt A pDA中，由已知，得AP=V A D2+PD2=\/5，故cosZDAP^^-AP 5所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为-证明：（n ）因为AD丄平面PDC 直线PD平面PDC,所以AD丄PD.又因为BC// AD,所以PD丄BC,又PD丄PB,所以PD丄平面PBC解：（川）过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF, 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. 因为PD丄平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影，所以/ DFP为直线DF和平面PBC所成的角-由于AD// BC, DF// AB,故BF=AD=1由已知，得CF=BC- BF=2.又AD丄DC,故BC丄DC, 在RtA DCF中，可得si IY/DFP=-^---所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.19•如图，已知四棱锥P- ABCD △ PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,// AD, CD丄AD，PC=AD=2DC=2CBE为PD 的中点.(I )证明：CE//平面PAB(U)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【解答】证明：（I ）取AD的中点F,连结EF, CF,••• E为PD的中点，二EF// PA在四边形ABCD中，BC// AD, AD=2DC=2CB F为中点,••• CF// AB,A平面EFC// 平面ABP,••• EC平面EFC••• EC// 平面PAB解：（U ）连结BF,过F作FM丄PB于M，连结PF,••• PA=PD 二PF丄AD,推导出四边形BCDF为矩形，二BF丄AD,••• AD丄平面PBF,又AD// BC,••• BC丄平面PBF,二BC丄PB,设DC=CB=1 贝U AD=PC=2 二PB=BF=PF=1 二MF=±, 又BC丄平面PBF,二BC丄MF ,••• MF丄平面PBC即点F到平面PBC的距离为寺,••• M F J , D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为BCE为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线, ••• E到平面PBC的距离为丄，在—」一「一一 ?，由余弦定理得CE=丄设直线CE与平面PBC所成角为9,则sin匸==.CE20.由四棱柱ABCD- A i B i C i D i截去三棱锥C i - B i CD后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A i E丄平面ABCD, (I )证明：A i O//平面BiCDi;(U)设M是OD的中点，证明：平面A i EM丄平面B i CDi.【解答】证明：(I )取B i D i中点G,连结A i G、CQ•••四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，•••四棱柱ABCD- A i B i C i D i 截去三棱锥C i - B i CD 后，A i GOC•••四边形OCGA是平行四边形，二A i O / CG-A i O 平面B i CDi, CG平面B i CD,••• A i O//平面B i CD.（U）四棱柱ABCD- A1B1C1D1 截去三棱锥G - B i CD 后，BDBD i,••• M是OD的中点，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A i E丄平面ABCD又BD平面ABCD，二BD丄A i E,•••四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，••• AO丄BD,••• M是OD的中点，E为AD的中点，二EM丄BD，••• A i E n EM=E, ••• BD丄平面A i EM，••• BD// B i D i，二BiD i 丄平面A i EM，T B1D1 平面B1CD1，•••平面A i EM丄平面B i CD i.21.女口图，在三棱锥A- BCD中，AB丄AD, BC丄BD，平面ABD丄平面BCD点E、F （E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上，且EF±AD.求证：（1）EF//平面ABC;(2) AD丄AC.【解答】证明：（1）因为AB丄AD, EF±AD,且A、B、E、F四点共面,所以AB// EF,又因为EF平面ABC, AB平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF//平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG EG使得FG// BC,则EG// AC,因为BC丄BD, FG// BC,所以FG丄BD,又因为平面ABD丄平面BCD所以FG丄平面ABD,所以FG丄AD,又因为AD丄EF,且EF A FG=F,所以AD丄平面EFG所以AD丄EG,故AD丄AC.3. 如图,在四棱锥P —ABCD中, AB// CD,且/ BAP=Z CDP=90.(1)证明：平面PABL平面PAD••• AB// CD,A AB丄PD,又••• PAH PD=P 且PA平面PAD PD平面PAD••• AB丄平面PAD,又AB平面PAB•••平面PABL平面PAD(2)解：：AB// CD , AB=CD •••四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB丄平面PAD • AB L AD,则四边形ABCD为矩形, 在厶APD中,由PA=PD / APD=90 ,可得△ PAD为等腰直角三角形, 设PA=AB=2a 则AD=-」.取AD 中点O , BC 中点E,连接PO OE,以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标 系，则：D （卫刊 0, 0）, B （占电 2a, 0），P （0，0,），C （负& 2a, 0）.设平面PBC 的一个法向量为「上，亿 J••• AB 丄平面 PAD, AD 平面 PAD /• AB 丄 PD ,又 PD 丄 PA PA G AB=A, ••• PD 丄平面PAB 则为平面PAB 的一个法向量，：「=[_『严二PD ・门 =_2耳 _ V3 | PD | | n | 2aXV3^^T由图可知，二面角A - PB- C 为钝角,面角A - PB- C 的余弦值为.4. 如图，四棱锥P- ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面/ BAD=Z ABC=90, E 是 PD 的中点.（1） 证明：直线CE//平面PAB （2） 点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°,求二面角M - AB - D 的余弦值.卞*PB=0t n*BC=0，得 \j~2 包匹+2 ay _V2 az-0 l -2V2ax=0 ，取 y=1,得「「.••• cosv 二「, ABCD【解答】(1)证明：取PA的中点F,连接EF, BF,因为E是PD的中点，所以E^AD, AB=BC丄AD,/ BAD=Z ABC=90,：BC//丄AD,••• BCEF是平行四边形，可得CE// BF, BF平面PAB CE平面PAB•••直线CE//平面PAB(2)解：四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD AB=BC=AD,2/ BAD=/ ABC=90, E是PD 的中点.取AD的中点O, M在底面ABCD上的射影N在0C上，设AD=2,贝U AB=BC=1 0P=,•••/ PCO=60,直线BM与底面ABCD所成角为45°可得：BN=MN, CN=MN, BC=1,可得：lJ^BN2=BN2, BN=, MN=,■—-1作NQ丄AB于Q ,连接MQ,所以/ MQN就是二面角M - AB- D的平面角,一 ?号------ C一^二面角M - AB- D的余弦值为：「■厂=.25. 如图，四面体ABCD中，△ ABC是正三角形，△ ACD是直角三角形，/ ABD= / CBD AB=BD.(1)证明：平面ACD丄平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE- C的余弦值.•••△ ABC是等边三角形，二0B丄AC.△ ABD与^ CBD中，AB=BD=BCZ ABD=Z CBD, •••△ ABD^A CBD 二AD=CD •••△ ACD是直角三角形，••• AC是斜边，•••/ ADC=90 .••• DO丄AC.2••• D02+B02=AB2=BD2.•••/ BOD=90.• OB丄OD.又DOG AC=O, • OB丄平面ACD.又OB平面ABC, •平面ACD丄平面ABC.(2)解：设点D , B 到平面ACE 的距离分别为h D , h E .则r =•••平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,•全竺仝L_hD 寺也CE * h E •••点E 是BD 的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取 AB=2.则 0(0, 0, 0), A (1, 0, 0), C (- 1, 0, 0), D (0, 0 , 1), B (0,, 0),=(-1 , 0 , 1),=(・lj ,寺),=(-2 , 0 , 0).设平面ADE 的法向量为T = (x , y , z ),则11 -"l_l■ irrAE 二 D同理可得：平面ACE 的法向量为■= (0 , 1 ,).6. 如图,在四棱锥 P- ABCD 中,底面ABCD 为正方形,平面 PAD 丄平面ABCD 点 M在线段 PB 上 , PD//平面 MAC , PA=PD 亍 AB=4.h E==1. • • cos =iD*n 一-胡=m 1 |n | 721^2,即 哙二0(1) 求证：M为PB的中点；(2) 求二面角B- PD- A的大小；(3) 求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.••• ABCD为正方形，二O为BD的中点，连接0M ,••• PD//平面MAC, PD平面PBD,平面PBDA 平面AMC=OM,••• PD// 0M,则匹旦，即卩M为PB的中点；BL BP(2)解：取AD中点G,••• PA=PD 二PG丄AD,•••平面PAD丄平面ABCD,且平面PADA平面ABCD=AD••• PG丄平面ABCD,贝U PG丄AD ,连接OG,贝U PG丄OG, 由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG// DC,贝U OG丄AD.以G为坐标原点,分别以GD GO GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD= AB=4,得 D (2 , 0 , 0) , A (- 2 , 0 , 0), P (0 , 0, ), C (2 , 4 , 0), B (-2 , 4 , 0), M (- 1 , 2,),. ：■ , r 1 - .设平面PBD的一个法向量为；・；、・、,取平面PAD的一个法向量为'II. - , I面角B- PD- A的大小为60°则由一 _t,得■t m-DB = 0，取z=，得I丄一.cos<> = .L1|2X1 '~2l»lIn|(3)解:面二g■厶爭)，平面BDP的一个法向量为阡⑴1.逅).•直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos < n >7. 如图，在三棱锥P- ABC中，PA±底面ABC,/ BAC=90.点D, E, N分别为棱PA PC, BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4 AB=2.(I )求证：MN //平面BDE(U)求二面角C- EM - N的正弦值；(川)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【解答】(I )证明：取AB中点F,连接MF、NF，••• M 为AD 中点，二MF / BD,••• BD平面BDE, MF 平面BDE,二MF//平面BDE••• N 为BC中点，二NF / AC,又D、E分别为AP、PC的中点，二DE/ AC,贝U NF / DE.v DE 平面 BDE NF 平面 BDE 二 NF //平面 BDE又 MF A NF=F.•••平面 MFN//平面BDE,贝U MN //平面BDE(U )解：v PM 底面 ABC, / BAC=90.•••以A 为原点，分别以AB AC AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. v PA=AC=4 AB=2• A (0 , 0 , 0), B (2 , 0 , 0), C ( 0 , 4 , 0), M (0 , 0 , 1), N (1 , 2 , 0) , E(0 , 2 , 2),则Z 」-1 ,『 . !.-,设平面MEN 的一个法向量为：I, i,由图可得平面CME 的一个法向量为1=(1. °, Q ).| Ki I I n I 兴 1 21•二面角C - EM - N 的余弦值为二_丄,则正弦值为；21(川)解：设 AH=t ,则 H (0 , 0 , t ) , \i 〔丄一 •:, ■ _•_、「. V 直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为,解得：t=—或 5•••当H 与P 重合时直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为，此时线段AH 的长为二 5 由 f ni T MN-0 [m T lE=O ，得匚 Sf2y-±=0 、2v+z=0 ,取z =2,得」」「i . • cos<> = | NH | | BE | 1=1 2t-2 |=.8•如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点.(I)设P是上的一点，且AP I BE,求/ CBP的大小；(U)当AB=3, AD=2时，求二面角E-AG-C的大小.【解答】解：(I)v API BE, AB丄BE,且AB，AP 平面ABP, AB A AP=A ••• BE!平面ABP,又BP平面ABP,••• BE! BP,又/ EBC=120,因此/ CBP=30;(n )解法一、取的中点H,连接EH, GH, CH,vZ EBC=120,「.四边形BECH为菱形，••• AE=GE=AC=GC=-:.取AG中点M，连接EM, CM, EC,贝U EM丄AG, CM!AG,•••Z EMC为所求二面角的平面角.又AM=1, • EM=CM=丨j -在厶BEC 中，由于/ EBC=120,由余弦定理得：EC=22+22 - 2X 2 X 2X cos120°12,上;，因此△ EMC 为等边三角形，故所求的角为60°解法二、以B 为坐标原点，分别以BE, BP, BA 所在直线为x , y , z 轴建立空间 直角坐标系.由题意得：A (0, 0, 3), E (2, 0, 0), G (1,, 3),C (- 1,, 0),设m=(K r y r “)为平面AEG 的一个法向量,设口二(七，y 厂七 )为平面ACG 的一个法向量,m T AE-0 ，得 ，取 z1=2，得, L ；,可得丿龙2 y 2=Q2K2+3Z2-°，取z2=- 2，得ri=(S t -V3> -2)-。