第四章
1.简述函数概念的三种定义，并加以比较说明.
2.结合高等数学的学习，论述基本初等函数的性质.
3.证明满足性质：（1）)()()(2121x f x f x x f =+； （2）单调递简 的函数)(x f 是一个以a )1)1(0(<=<f a 为底的指数函数。
4.求函数)2arcsin()4(log 1)(22x x x x f x -+-=+
2
3
-x x
的定义域。
5.证明函数x
x
y +=1是无界函数.
例7（奇偶性的应用）已知y x b a ,,,都是实数，且0>x ，求参数b a ,的一切取值，使
方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+b x x a y x y
y
1
1,22有唯一解。
解 因为0>x ，所以2y a x -=。
这个函数显然是关于自变量y 的偶函数，由此可知，如果),(00y x 是方程组的解，那么),(00y x -也是方程组的解。
因为方程组有唯一解，所以00y y -=，即00=y 。
于是有0,0=>b a ，且方程组的解
为⎩⎨⎧==0
y a x 。
反之，当0,0=>b a 时，方程组化为
⎩⎨⎧==+1
,22y
x a y x )2()
1( 如果0≠y ，那么由方程（2）可知1=x ，代入方程（1），可得1-±=a y 。
如果1>a ，则方程组有两组解：⎩⎨⎧-==11a y x 与⎩⎨⎧--==1
1
a y x 。
如果1<a ，则方程组无解。
如果1=a ，则0=y ，这与条件0≠y 矛盾。
因此，当0,0=>b a 时，当且仅当0=y ，方程组有唯一解⎩⎨⎧==0
y a
x 。
5.证明2
sin x y =不是周期函数. 6.函数x y cos =不满足任何代数方程.
7.x y cos =的解析式不可能是关于变数x 的代数式.
8.（图像的应用）根据参数a ，求方程132+=-a x 的解的个数. 9.（单调性的应用）求数列
3,2,1,3
)223(9
692422
2=+--
+-=n n n n a n 的最小项. 10.（有界性的应用）已知1,1>>B A ，解方程24
4
52=+-+-x x x B
A
.
例17设函数x x f n
sin )(=的最小正周期为T 。
试证：当n 为奇数时π2=T ；当n 为偶数时π=T 。
证明 （1）当)(12Z k k n ∈+=时，x x f k 1
2sin )(+=，根据定理4，π2是)(x f 的一
个周期。
再证π2是最小正周期。
假设)(x f 有周期l ，且π20<<l 。
则对于任意R x ∈，总有
x l x k k 1212sin )(sin ++=+
令2
π
=x ，得1)2
(
sin
1
2=++l k π
即1cos ,1cos
1
2==+l l k
但是在区间)2,0(π内这样的l 不存在。
因此π2是x k 1
2sin +的最小正周期。
（2）当)(2Z k k n ∈=时，k k
x x x f )(sin sin )(22==，因为π是x 2
sin 的最小正周期，
所以也是x k
2sin
的周期。
假设x k
2sin
有周期l ，且π20<<l 。
则对于任意R x ∈，总有
x l x k k 22sin )(sin =+
令0=x ，得0sin =l 。
在区间),0(π内这样的l 不存在。
因此π是x k
2sin 的最小正周
期。
例14作出函数122
4--=x x y 的图像。
解 （1）函数的定义域是),(+∞-∞。
（2）奇偶性：函数是偶函数，图像关于y 轴对称，所以只须在),0[+∞内讨论。
（3）有界性：22)1(122
2
2
4
-≥--=--=x x x y ，函数图像在直线2-=y 的上方。
（4）单调性：把),0[+∞分成]1,0[和),1(+∞两个单调区间。
在]1,0[上，)0(2≥x 是增函数，而)0(12
≤-x 也是增函数，而2
2)1(-x 是减函数，从
而122
4--=x x y 也是减函数，它的函数值由1-递减到2-。
在),1(+∞内，)0(2>x 是增函数，)0(12
>-x 也是增函数，2
2)1(-x 也是增函数，从
而122
4--=x x y 是增函数，它的函数值由2-递增到∞+。
（5）特殊点：令0=y ，解得21+±=x ；令0=x ，得1-=y 。
图像经过
)0,21(+±和)1,0(-点。
当1=x 时，函数有极小值2-=y 。
综上，可得函数在0≥x 时的图像，再根据偶函数的对称性，作出0<x 的图像。
例17 利用函数1)(2
++=x x x f 的图像，作函数1)(2
+-=x x x g 的图像。
解 因为)()(x g x f -=，所以这两个函数关于y 轴对称，由函数1)(2
++=x x x f 图形，通过对称变换即可得到1)(2
+-=x x x g 的图像。
11.简述利用APOS 理论如何进行函数概念的教学。