放射性气体扩散浓度预估模型【摘要】本文是以日本地震引起的福岛核电站的核泄漏为背景，并以给出的数据为基础，研究某一假设核电站的核泄漏问题。
我们通过收集相关的资料，并结合题目给出的数据，建立了高斯模型、连续点源高斯扩散模型解决了题目提出的四个问题。
针对问题一：考虑到泄漏源是连续、均匀和稳定的，我们运用散度、梯度、流量等数学概念，通过“泄漏放射性物质质量守恒”、“气体泄漏连续性定理”、 Guass 公式及积分中值定理得到了无界区域的抛物线型偏微分方程，然后再通过电源函数解出空间任意一点的放射性物质浓度的表达式，把此表达式定为模型一的前身。
鉴于放射性物质的扩散受到诸多因素的影响，如：泄漏源的实际高度、地面反射等。
我们以泄漏口为坐标原点建立三维坐标系，通过“像源法”处理地面反射对放射性物质浓度的影响，并由此对模型一的前身进行修正完善，得到模型一：高斯模型，即放射性物质浓度的预测模型。
最后我们模拟了放射性物质无风扩散仿真图。
针对问题二：当风速为k m/s 时，我们根据放射性核素云团在大气中迁移和扩散的数值计算的基本方法和步骤，并以泄漏点源在地面的投影点为坐标原点，以风向方向为x 轴，铅直方向为z 轴，与x 轴水平面垂直方向为y 轴建立三维坐标系，地面的反射作用同样利用“像源法”进行处理，得到连续点源高斯扩散模型。
考虑到地面反射、烟云抬升、放射性物质自身的沉降及雨水的吸附等对浓度的影响，我们对连续点源高斯扩散模型进行了修正，建立了修正的连续点源高斯扩散模型。
最后利用大气稳定度确定了扩散参数，进而求解了模型。
针对问题三：经分析，问题三的提出是以问题二为基础的，模型三的建立只需要将模型二加以调整即可。
我们以风速方向为x 轴正方向，将风速与放射性物质的扩散速度进行矢量运算，此问题则转化为求(,0,)L z 和(,0,)L z -两点处的放射性物质浓度，由此建立模型三，即上风和下风L 公里处放射性物质浓度浓度的预测模型。
针对问题四：首先，我们通过网络收集了相关数据，然后，我们结合模型二、模型三对数据进行整理代入，算出了日本福岛核电站泄漏的放射性物质扩散到中国东海岸和美国西海岸的浓度分别为334.242910/g m -⨯、432.385410/g m -⨯。
关键词：高斯模型 连续点源高斯扩散模型 核泄漏一问题的重述1.1问题背景目前，核电站的发展能带来巨大的经济效益和社会效益，但核电站一旦发生核泄漏，将会给人们的生命健康和周边环境带来巨大的危害性影响。
2011年3月日本的福岛核电站的放射性气体的核泄漏事件更让我们关注放射性气体泄漏时的浓度问题。
因此，正确的测出大气中放射性物质的浓度在环境监测和安全评估中具有重要意义1.2问题提出p的放射性气体以速度m kg/s 有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，浓度为匀速排出，在无风的情况下，以速度s m/s匀速在大气中向四周扩散.1）在无风的情况下，建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。
2）当风速为k m/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。
3）当风速为k m/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测模型。
二符号说明三模型假设1、扩散过程中浓度在y、z轴上的变化分布是高斯分布。
2、放射性物质的扩散看作是空间某一连续点源向四周等强度地瞬时释放放射性物质，放射性物质在无穷空间扩散过程中不发生性质变化，且不计地形影响。
3、放射性物质扩散服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比。
4、放射性物质在穿过降雨区域时，其强度由于雨水的吸收而减少，减少比率为常数。
5、假设地面对放射性气体起全反射作用，地面和海面对放射性气体没有吸附，将海面视为平原地区6、假设风向为水平风向，且风向风速不随时间变化。
7、扩散过程中不考虑泄漏点内部温度的变化对气体扩散的影响。
四问题的分析4.1问题（1）的分析p放射性气体以速度m kg/s匀速一座核电站遇自然灾害发生核泄漏，浓度为排除，这近似于放射性物质源是连续均匀稳定的。
在无风情况下，放射性气体以速度s m/s匀速在大气中向四周扩散，放射性气体的扩散服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比。
在这些条件下，我们明确了要研究的问题是点源连续泄漏的扩散问题，为了使建立的模型更加贴近实际，需考虑地面反射、核泄漏源的实际高度、降雨等因素对浓度分布的影响。
由“扩散定律”“放射性物质质量守恒定律”“气体泄漏连续性定理”可得出无界区域的抛物线型偏微分方程。
再通过假设条件建立未考虑地面反射、核泄漏源的实际高度、降雨等浓度影响因素的初步模型，然后从这些影响因素对模型进行完善，最终得出核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。
4.2 问题（2）的分析本问是探究风速为/km s时，核电站周边放射性物质浓度的变化情况。
当环境中空气流动产生风力时，在均匀湍流场中，扩散参数与下风向距离的关系是明确的，核泄漏时间较长时，可认为扩散是稳定的。
在下风向的湍流扩散相对于风力引起的移流相可忽略不计，在流动方向建立x轴，不考虑横向速度和垂直速度。
根据假设，空间中放射性物质的浓度服从高斯分布，可利用连续点源放射性物质的高斯扩散模型。
放射性物质在大气中扩散受诸多因素影响，考虑泄漏源有效高度、放射性物质自身重力产生的重力沉降、雨水的吸附等因素对放射性物质浓度的影响是必要的，通过这些影响因素对高斯模型进行修正，然后利用修正后的高斯模型探究核电站周边放射性物质浓度的变化情况。
4.3 问题（3）的分析本问是要求当风速为/km s时，建立上风和下风L公里处的放射性物质浓度的预测模型。
经分析，此问是问题（2）的延伸，我们只需建立合适的坐标系，将此问题转化为求具体两处的放射性物质的浓度，便能得出上风和下风L公里处的放射性物质浓度预测模型。
五模型的建立与求解5.1模型一的建立与求解5.1.1模型一的初步建立以核泄漏点正下方的地面为坐标原点(0,0,0)，平均风向为X轴、指向下风方向，铅直方向为Z轴，水平垂直于风向轴（X轴）为Y向，建立空间坐标系，则核电站泄漏点O距有效地面的高度为H，则泄漏点位置坐标为(0,0,)O H。
图一：空间坐标系示意图将气体从泄漏源泄漏时刻记作t=0，时刻t 无穷空间中任意一点坐标为（x,y,z ）的浓度记为C （x,y,z,t ）,根据假设2，单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比，则：i q gradC δ=-⋅ （1）(,,)i i x y z δ=是扩散系数，grad 表示梯度，负号表示由浓度高向浓度低的地方扩散。
考察空间域Ω，其体积为V ，包围Ω的曲面为S ，S 为一规则的球面，S 外法线向量为(-,-,1)x y n z z=。
则在(,)t t t +∆内通过Ω的流量为： 1t t t sQ q nd dt σ+∆=⋅⎰⎰⎰ （2）Ω内放射性物质的增量为：2[(,,,)(,,,)]V Q C x y z t t C x y z t dV =+∆-⎰⎰⎰ （3）从泄漏源泄漏的放射性物质的总量为：00t tt Q p dVdt +∆Ω=⎰⎰⎰⎰（4）根据“质量守恒定律”和“气体泄漏连续性原理”，单位时间内通过所选曲面S 的向外扩散的放射性物质的量与S 曲面内放射性物质增量之和，等于泄漏源在单位时间内向外泄漏的放射性物质。
则：012Q Q Q =+ （5）即：0[(,,,)(,,,)]t t t t t t V s C x y z t t C x y z t dV q nd dt p dVdt σ+∆+∆Ω+∆-+⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（6）又根据曲面积分的Gauss 公式：s V q nd divqdV σ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ (其中div 是散度记号) （7） 0(,,,)(,,,)[]t t t t t t V V C x y z t t C x y z t t dV divqdVdt p dVdt t +∆+∆Ω+∆-∴⋅∆+=∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰00()(,,,)(,,,)lim lim t t tt t kdiv gradC dt C C x y z t t C x y z t t t t +∆∆→∆→∂+∆-∴==∂∆∆⎰由以上两式得：0[]V V C dV t divqdV t p dV t t Ω∂⋅∆+⋅∆=⋅∆∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰即为：0[]V V VC dV divqdV p dV t ∂+=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （8）由以上公式并利用积分中值定理得：222222()(),0,,,i i y z C C C C div gradC t x y z t x y zδδδδ∂∂∂∂==+⋅+⋅>-∞<<∞∂∂∂∂ （9） 这是无界区域的抛物线型偏微分方程，根据假设1，初始条件为作用在坐标原点的电源函数，记作(,,,0)(,,)C x y z Q x y z δ= （10） 0(,,)Q x y z δ表示泄漏源漏泄释放的放射性物质总量，是单位强度的电源函数。
方程（9）满足方程（10）的解为：222403/2(,,,),(,,)(4)i x y z t i Q C x y z t e i x y z t δπδ++-==此模型只是在不考虑风速的情况下建立的，但为了使模型具有更加的实用性，下面我们将考虑泄漏源的实际高度、地面反射、降雨等因素对浓度的影响，完善模型。
5.1.2 模型一的最终建立1. 地面反射对模型的完善泄漏源有一定的高度，且泄漏点源是连续点源，则泄漏点源可视为高架连续点源，考虑到地面对扩散来的放射性气体有反射作用，根据假设4，地面对到达地面的扩散气体完全反射。
这儿可认为地面就像镜子一样，对放射性气体起全放射作用，可用“像源法”处理，如图3，建立三个坐标系，一是以泄漏源（实源）为坐标原点；二是以泄漏源在地面的投影点为原点，p 点是空间的任意一点，坐标为(,,)x y z ；三是以泄漏源关于地面的像对称源（像源）为原点。
把p 点放射性气体浓度看成两部分（实源与像源）作用之和。
图二： 高架连续点源扩散示意图从以上分析知，p 点放射性气体的浓度为实源和像源的放射性气体扩散至此点浓度的叠加。
则实际泄漏源（实源）对p 点的浓度贡献部分可用2()2z z H eσ--来表示；因为地面对扩散物质完全反射，则像对称源（像源）对p 点的浓度贡献部分可用2()2z z H e σ+-来表示。
于是对（11）式所修正完善的模型为： 2222()()()44403/21/2(,,,),(,,)(4)x y z x y z H z H t t t i mp C x y z t e i x y z t δδδπδ-++-+-== （12）我们自己模拟一组数据，利用matlab 进行仿真模拟，可实现该模型的模拟图像。