第十一章无穷级数教学目的：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。

2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。

4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。

5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。

6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。

7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。

8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9、会利用幂级数的性质求和。

10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

教学重点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数教学难点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数；§1常数项级数的概念和性质、教学目的与要求:1 •理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。

2 •理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

二、重点（难点）：级数收敛的定义及条件三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、常数项级数的概念常数项无穷级数：一般地，给定一个数列U l U2 .U3 ,.： ... ；.：Un .则由这数列构成的表达式U1 U2 U3 亠亠Un : “ “ “Q Q叫做（常数项）无穷级数.简称（常数项）级数.记为x u n.即nVQ0u n =5 u2 U3 亠亠u n….n =1其中第n项U n叫做级数的一般项■Q0级数的部分和：作级数' U n的前n项和nTns n =二U^U i U2 U3 亠亠U ni =1□0称为级数二:U n的部分和n =1QO级数敛散性定义：如果级数''U n的部分和数列｛S n｝有极限Sn 4即lim Si = s .n心QO则称无穷级数7 Un收敛.这时极限S叫做这级数的和.n=1并写成oOS 八比二 U i U 2 U 3E= Un ?nJ如果｛Sn ｝没有极限.则称无穷级数 二U n 发散n=1QO QO余项：当级数a U n 收敛时.其部分和Sn 是级数U n 的和S 的近似值.它们之间的差值n =1nd「n ~S -Sn Fn 2・‘---Q O叫做级数V U n 的余项n =1例1讨论等比级数（几何级数）O0' aq n = a aq aq 2：】 …aq nn =0的敛散性.其中a=0 q 叫做级数的公比解：如果q=1 .则部分和oO当|q| ：：1时.因为lim S n —.所以此时级数、aq n 收敛.其和为戶-n护 1-q心1-q00当|q|>1时.因为lim % -：：所以此时级数aq n 发散nTd n=0oO如果|q|m .则当q=1时.sn=na •：：.因此级数■- aq n 发散- n=000 当q--1时.级数a aq n成为n£a-a a-a时|q| W 时•因为Sn 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零oO所以Sn 的极限不存在.从而这时级数x aq n 也发散n=02n -1 S n =a aq aq 亠 亠aq_ a _aqni-qa i-qQ Q5 / 27cO仅当q|：：1时.几何级数v aq n a=O ）收敛.其和为n4例2证明级数1 3 5；；（ 2n-1） •…是发散的，证 此级数的前n 项部分和为s n =1 3 5圧 ........ 圧(2n -1) = n(n 1).显然.lim 片「：因此所给级数是发散的n ＞：:例3判别无穷级数因此（扛）（＞古十活从而1一)=1 lim s^ =lim (1n 「 所以这级数收敛n （n 1） n n 1二、收敛级数的基本性质QOQO性质1如果级数u n 收敛于和S.则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数7 ku n 也收敛n mn =1和为ks .综上所述 Q Q.如果|q|：：：1.则级数「aq n收敛.其和为a i-q•如果|q| 1 .则级数7 aq n 发散2丄.丄. 1 2 23 341 1 ..…n(n +1)由于Unn(n 1) n n 1n —" n 1提示：u n -证明：设a U n与v kU n的部分和分别为S n与n .则n =1 n =1lim ；「n = lim （kg 癥k®） =k lim （5 氏u n） = k lim % =ksn , n ,n , n >00这表明级数ku n收敛.且和为ksnJ表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。

性质2如果级数''U n、、' V n分别收敛于和S、.则级数a （比一*）也收敛.且其和为S_ n =1 nd n -1证明：如果7 U n、7 V n、7（U n二V n）的部分和分别为环、n、n .则n 1n =1n VIlim n = lim ［（q 二V|）（u2二v2）宀〔（u n二v n）］n ，n >二lim ［（比u2…_u n）二（V］ v2…：v n）］n心二lim （S n 二-n） =S 二二.n表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。

性质3在级数中去掉、加上或改变有限项.不会改变级数的收敛性.比如.级数——- - 是收敛的.1 2 23 34 n（n+1）1 1 1 1加一项后级数9895 也是收敛的.1 2 2 3 3 4 n（n+1）减一项后级数— 1 1也是收敛的，3 4 4 5 n（n +1）Q0性质4如果级数' U n收敛.则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛.且其和不变•nT注意：如果加括号后所成的级数收敛.则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如•级数（1-1）+ （1 -1） + ” ”收敛于零.但级数1-1 1-1却是发散的，推论：如果加括号后所成的级数发散.则原来级数也发散• 级数收敛的必要条件：Q Q7 / 27性质5如果v u n 收敛 则它的一般项U n 趋于零.即lim U n =0nJ证： QO设级数'■ Un 的部分和为s n 且lims n ^s 则 n4lim U n = lim (S n —S n /) =lim S n 「lim S nV 二s -s = 0 ^_0n ・ n ・ n y ：i注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 .例如调和级数-1=1.1.^ .1.... n 』n 2 3 n1尽管它的一般项lim 0，但它是发散的，F nO01因为 假若级数' 1收敛且其和为s s n 是它的部分和nT n显然有lim 帛=s 及lim s 2n =s ，于 是n )：:n •n 卜::：但另一方面.故lim (舫 f) =0 .矛盾.这矛盾说明级数 '、-必定发散.n)- -n§2常数项级数的审敛法 一、教学目的与要求：1 .掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。

2 •掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。

s2n 角n 1 n 2 2n 2n 2n2n =i3 .了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系二、重点（难点）：判定正项级数的收敛与发散三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、正项级数及其审敛法定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。

正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论：Q0定理1正项级数''U n收敛的充分必要条件它的部分和数列｛S n｝有界n m证设级数U1 . U2 亠亠U n ■是一个正项级数。

其部分和为S n显然S n是一个单调增加数列，若部分和数列S n有界，则根据单调有界数列必有极限的准则，可知级数ZUn收敛；反之.若级数ZUn收敛，则部分和数列S n有极限，根据有极限的数列是有界数列的性质可知｛S n｝有界CO OQ O0定理2 （比较审敛法）设£U n和为V n都是正项级数.且U nW V n （n=1 . 2 .…），若级数》V n收敛.则n =1nW nTQO QO QO级数v U n收敛•反之.若级数a U n发散.则级数a V n发散n =1n d n TQO QO证设级数V V n收敛于和二则级数V U n的部分和n =1 n =1S n=U l U2 亠"U n_V1 V2亠亠V n_；「（n =1,2, ）.co即部分和数列｛ S n｝有界.由定理1知级数v U n收敛n =1QO QO反之.设级数7 Un发散.则级数7 Vn必发散•n =1 n 4QO QO因为若级数' V n收敛.由上已证明的结论.将有级数V U n也收敛.与假设矛盾•n=1 n=1推论 设a u n 和v v n 都是正项级数 .如果级数x ' v n 收敛.且存在自然数 N .使当n 丄N 时有n =1n =1n -1QOoo U n_kV n (k 0)成立.则级数v U n 收敛-如果级数V n 发散.且当n_N 时有U n_kV n (k 0)成立.则级数ndnVQO'、' U n 发散n A例1讨论p ■级数的收敛性.其中常数p 0当p_1时级数二+发散心n p □0对于级数:丿冷活.其部分和X -天］［兴-沖…［尙-十叶金因为 lim s n 卽［1（n -1）°° 4 4°° 4nJ 冷沽］收敛从而根据比较审敛法的推论1 可知-级数雲当卩1时收 综上所述卩缀数& 冷当p 1时收敛•当p-1时发散n4 np提示 级数J [1一 一丄]的部分和为 』n —1严n pJSn =[^2pj]【齐一缶【湍 'n=1'n ；）p 」'因为 lim s n =lim[11■厂]T门护n n 品 （n +1）P 」解设p 叩，这时丄_1而调和级数n p n「丄发散.由比较审敛法知.n =1n设p 1 .此时有丄n pdxx r1 1「「■(7环百-訂 5之3,几所以级数所以级数7 [ 丄口 -召]收敛n』（n-1）P」n p」p浚数的收敛性：p-级数v -J-当P 1时收敛.当P叩时发散nd n p1例2证明级数瓦$ 是发散的,n*‘n（n +1）_1_ _1__ 1\ n(n 1) I (n 1厂n 1而级数v -^―=丄•1」是发散的.n吕n+1 2 3 n+1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理3 （比较审敛法的极限形式）□0O0设a Un和a Vn都是正项级数.n =1n =1（1）如果lim U n=l （0勺:::::）.且级数' V n收敛则级数' U n收敛W n n#n T⑵如果lim Un二：l 0或lim Un=；3ao QO且级数v v n发散则级数v u n发散n T=«V n FV n n =1nT1证明由极限的定义可知.对；=才1 .存在自然数N .当n N时.有不等式l 一芍土<l」l .即丄lv n u n：3lv n.2 v n 2 2 n n 2 n再根据比较审敛法的推论 1 .即得所要证的结论，证因为1例3判别级数v tan 的收敛性.n 4 n004而级数7丄发散n 4nQO例4判别级数anm(2 n —1)(2 n +1)lim (加-叽2n V) J n r ：： 1 4 n定理4 （比值审敛法.达朗贝尔判别法）cd若正项级数V u n 的后项与前项之比值的极限等于n =1则 当二1时级数收敛•当r 1（或lim •也N ：）时级数发散• n r-' u n 当亍=1时级数可能收敛也可能发散.解 因为 limUml= lim 12 3° ° = lim 丄=0 ：：1 . u n n ^c 1 2 3 …n n H^n根据比值审敛法可知所给级数收敛 例6判别级数 — 12 12学的收敛性•10 102 10310n解 因为 lim - lim10lim 心二：.U n n H^10nF n!10根据比值审敛法可知所给级数发散根据比较审敛法的极限形式级数tan 1发散门二 n例5证明级数仔匕•也11 23( n-1)+ 1 tan —解因为lim - =1专 1解因为根据比较审敛法的极限形式.级数收敛心（2 n —1）（2 n+1）P: limP .n r : u n112 / 27例7判别级数的收敛性.n^2n （2n +1）lim 2n <2n 1)nr ： (2n 1) (2n 2)这时匸=1 .比值审敛法失效.必须用其它方法来判别级数的收敛性，11处 1 ,、—因为 --2 .而级数7 —收敛.因此由比较审敛法可知所给级数收敛（2n +1）2 n nn =n定理5（根值审敛法.柯西判别法）oO设7 U n 是正项级数.如果它的一般项U n 的n 次根的极限等于T ：n =1则当：：：1时级数收敛•当二1（或lim n U n =；3）时级数发散-n —当11时级数可能收敛也可能发散 .例8证明级数并估计以级数的部分和 S n 近似代替和S 所产生的误差 解 因为 lim n U nlim n 1n lim 丄=0 .n ^^n ^c¥ n n ^4=^ n所以根据根值审敛法可知所给级数收敛以这级数的部分和 S n 近似代替和S 所产生的误差为，-—1 1 1— (n 1)n 1 (n 1)n 2 (n 1)n 3 _ 1 "n(n 1)n '所以 根据根值审敛法知所给级数收敛limU n 1|rn | =1 (n 1)n 1 (n 2)1 例9判定级数护的收敛性解因为lim lim 丄助2+(-1)“n ， 一 n ）：：2定理6(极限审敛法)Q Q设「U n 为正项级数nJ(1)如果 lim nu n =10(或limnu n =) n ^^ 、 n _jicQ Q则级数＜；u n 发散n 」 ⑵如果 p 1而 lim n p U n =l (0G 5：s )n —Q Q则级数7 Un 收敛n=1001例10判定级数'Tn (「一2)的收敛性n z4n1 1解因为 ln(1-2)— (nr -，)故 n nlim n 2u n = lim n 2l n(1 牛)=lim n 2 占=1 n ・ n n n n根据极限审敛法知所给级数收敛O0例11判定级数7 5 • 1(1 -cos —)的收敛性nAn根据极限审敛法 知所给级数收敛、交错级数及其审敛法交错级数：交错级数是这样的级数.它的各项是正负交错的oCcd交错级数的一般形式为(-1)n ‘U n .或V (-｛山 其中U n 0 .n =1n £但、.(jM-cosn •不是交错级数 n =1n定理7 (莱布尼茨定理)od如果交错级数 a ( -1)"，U n 满足条件n =1(1)u n 血时(n= .2 .3 .…；(2) lim u n =0 .n -^则级数收敛.且其和S_U 1 .其余项r n 的绝对值『nd u n ' . 证明：设前2n 项部分和为S 2n .由 S 2n=(U 1-U 2)(U 3-U 4) … (U 2n 1 -U 2n ). 及解因为3lim n 2u n n —.=lim nn ＞：:3 2、n 1(1 -cos —) = lim n 2n r ^c叮2(产2：co例如.' ■ (-1)nn m'丄是交错级数n三、绝对收敛与条件收敛 ：□0O0绝对收敛与条件收敛：若级数X |U n |收敛.则称级数7 U n 绝对收敛•n =1n =1例如 级数7（-1）n 」冷是绝对收敛的.而级数a （-1）n ，1是条件收敛的n T n 心n oOoo定理8如果级数二U n 绝对收敛.则级数二:U n 必定收敛n =1n =1证明略odod注意：如果级数X |U n |发散.我们不能断定级数、U n 也发散n =1n =1但是.如果我们用比值法或根值法判定级数a |U n |发散n =1co则我们可以断定级数 7 U n 必定发散•n =1S 2n =U 1 _（U 2 _U 3）-（U 4 -U 5）亠 亠（U 2n 2 -U 2n 」）-U 2n （设S 2nS （n ）.则也有S 2n 1二S 2n U 2n 1 S （n ）.所以S nS （n ）.从而级数是收敛的S n ：：：U l .因为|r n |刃n 1—U n 2 •…也是收敛的交错级数.所以|r n |_U n ・1,.且例12证明级数a （-if 1收敛.并估计和及余项n =1n证这是一个交错级数.因为此级数满足(1)U n=U p 1 (n =1,2,).1⑵ lim u n 二 lim 0i^oc n由莱布尼茨定理 级数是收敛的 .且其和 S ：：：u 1=1 .余项 |r n |_Un 1 =若级数7 U n 收敛.而级数7 |U n |发散.则称级7 U n 条件收敛.n =1n =1n -1Q Q这是因为.此时|U n |不趋向于零.从而U n 也不趋向于零.因此级数^'u n 也是发散的二 sin na例13判别级数—的收敛性，nAn解因为書肚丄.而级数V 1是收敛的.n n n所以级数|竺啓i 也收敛.从而级数二s ^n n a 绝对收敛，n & nn 4 n可知lim U n=O .因此级数V (-1)n 』n (1发散n ■nW 2 n§ 3幕级数、教学目的与要求:1 •理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。