湖南省2018年普通高等学校对口招生考试数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。

时量120分钟。

满分120分一． 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则( )A.{1,2,3,4,5,6}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,5,6} 2.“29x =是3x =的( ) 条件A.充分必要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要 3.函数22y x x =-的单调增区间是( )A.1(,]-∞B.1[,)+∞C. 2(,]-∞D. 0[,)+∞4.已知35cos α=- ，且α 为第三象限角，则tan α=( )A.43B. 34C. 34-D. 43- 5.不等式211||x ->的解集是( )A.0{|}x x <B. 1{|}x x >C. 01{|}x x <<D. 0{|x x <或1}x > 6.点M 在直线3x+4y-12=0上，O 为坐标原点，则线段OM 长度的最小值是( )A.3B.4C.1225D.1257.已知向量a 、b 满足712||,||a b ==,42a b =-,则向量a 、b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.下列命题中，错误．．的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交9．已知15100200sin ,sin ,sin a b c =︒=︒=︒,则,,a b c 的大小关系为( ) A.a b c << B.a c b << C.c b a << D.c a b <<10.过点（1,1）的直线与圆224x y +=相交于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最大值为( )二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.某学校有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为______。

12.函数()cos f x x b =+（b 为常数）的部分图像如图所示，则b=______。

13.61()x + 的展开式中5x 的系数为______（用数字作答）。

14.已知向量a =（1,2），b =（3,4），c =（11,16），且c xa yb =+ ，则x+y=______。

15.如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为______。

三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分10分）已知数列{}n a 为等差数列，1315,a a ==;⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设数列{}n a 的前n 项和n S ，若100n S =，求n. 17.（本小题满分10分）某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格，从中随机抽取2瓶检测，用ξ表示取出饮料中不合格的评述，求：⑴随机变量ξ的分布列；⑵检测出有不合格饮料的概率。

18. （本小题满分10分）已知函数301()log (),(,)a f x x a a =->≠ 的图像过点（5,1）。

⑴求()f x 的解析式，并写出()f x 的定义域 ⑵若1()f m <，求m 的取值范围。

19. （本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AA AB BC ==,∠ABC=90°，D 为AC 的中点。

⑴证明：BD ⊥平面11AA C C ；⑵求直线1BA 与平面11AA C C 所成的角。

20.（本小题满分10分）已知椭圆C:22221x y a b+=( 0a b >>) 的焦点为1F （-1,0），2F （1,0），点A （0,1）在椭圆C 上。

⑴求椭圆C 的方程；⑵直线l 过点1F 且与1AF 垂直，l 与椭圆C 相交于M,N 两点，求MN 的长选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号。

21. （本小题满分10分） 如图，在四边形ABCD 中，BC=CD=6，AB=4，∠BCD=120°，∠ABC=75°，求四边形ABCD 的面积。

22. （本小题满分10分）某公司生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲产品可获利4万元，生产1吨乙产品可获利润5万元，问：该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大？参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A D DC BD A11、25 12、2 13、6 14、5 15、132三、解答题16、解：⑴{}n a 为等差数列，1315,a a ==，所以公差31512312a a d --===- 故1112121()()n a a n d n n =+-=+-=- ⑵因为等差数列{}n a 的前n 项和12()n n n a a S +=,100n S =，所以有 1211002()n n +-= ，10n = 17、解：⑴ξ的可能取值有0，1， 2204226205()C C P C ξ===,1142268115()C C P C ξ===,0242261215()C C P C ξ=== 故随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2P25 815 115⑵设事件A 表示检测出的全是合格饮料，则A 表示检测的有不合格饮料因为检测出的全是合格饮料的概率20422625()C C P A C ==,所以检测的有不合格饮料的概率为 231155()()P A P A =-=-=18、解：⑴由()3log ()a f x x =-的图像过(5,1)得：531log ()a -=，即21log a =，所以2a = 。

由对数性质知303,x x ->>；所以函数()23log ()f x x =-的定义域为3(,)+∞ 。

⑵因为()23log ()f x x =-，1()f m <,所以231log ()m -< 即有：2232log ()log m -<所以有032m <-<,35m <<即m 的取值范围是35(,)。

19、⑴证明：因为在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，BD ⊂底面ABC ，所以1AA BD ⊥又AB BC =,∠ABC=90°，D 为AC 的中点 所以BD AC ⊥又1AA AC A = ，所以BD ⊥平面11AA C C⑵因为BD ⊥平面11AA C C ，连1A D ，则1BA D ∠是直线1BA 与平面 11AA C C 所成的角。

在直角1A BD ∆中，112222,BD AC AB A B AB ===所以1112sin BD BA D A B ∠== , 130BA D ∠=︒ 20、解：⑴因为椭圆C:22221x y a b+=(0a b >>)的焦点为1F (-1,0)，2F (1,0),所以1c =又点01(,)A 在椭圆C 上,所以2222011a b+=，即21b =222112a b c =+=+=故椭圆方程为2212x y += ⑵因为直线1AF 的斜率11AF k =,直线l 过点1F 且垂直1AF ，所以直线l 的斜率1k =-直线l 的方程为1y x =-- 由22112y x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得：2340x x += 设M,N 坐标分别为1122(,),(,)M x y N x y ,则有1212403,x x x x +=-=2212112443||()x x x x x x -=+-=2214421233||||MN k x x =+⨯-==即MN 的长为42321、解：连结BD,在BCD ∆中，BC=6DC=6BCD=120︒∠，，， 由余弦定理得222BD =BC +DC -2cos BC DC BCD ••∠ 所以222BD =6+6-266cos120︒⨯⨯⨯ 即BD=63又由BC=DC=6BCD=120︒∠，得 CDB=CBD=30︒∠∠ 所以ABD=45︒∠ABCD =ABD BCD s s s ∆∆+四边形ABCD 11=BC DC sin sin 22s BCD AB BD ABD ••∠+••∠四边形ABCD 11=66sin120463sin 4522s ︒︒⨯⨯•+⨯⨯∠四边形ABCD 1312=666342222s ⨯⨯⨯+⨯⨯四边形ABCD s +四边形22、解：设每天生产甲乙两种产品分别为,x y 吨，才能使公司每天获得的利润最大，利润为Z 万元，则283x+2y 1200x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 目标函数为45z x y =+作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域。

由45z x y =+得455Zy x =-+平移直线455Zy x =-+由图像可知当直线455Zy x =-+经过点B 时，直线455Zy x =-+的截距最大，此时Z 最大解方程组2=83x+2y=12x y +⎧⎨⎩得2,3x y ==即点B 的坐标为（2,3）=42+53=23z ⨯⨯最大值 （万元）答：每天生产甲2吨，乙3吨，能够产生最大利润，最大利润是23万元。

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