信息论基础1答案《信息论基础》答案一、填空题（本大题共10小空，每小空1分，共20分）1.按信源发出符号所对应的随机变量之间的无统计依赖关系，可将离散信源分为有记忆信源和无记忆信源两大类。

2.一个八进制信源的最大熵为3bit/符号3.有一信源X ，其概率分布为123xx x X 111P 244⎛⎫⎡⎤ ⎪=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭，其信源剩余度为94.64%；若对该信源进行十次扩展，则每十个符号的平均信息量是 15bit 。

4.若一连续消息通过放大器，该放大器输出的最大瞬间电压为b ，最小瞬时电压为a 。

若消息从放大器中输出，则该信源的绝对熵是∞；其能在每个自由度熵的最大熵是log （b-a ）bit/自由度；若放大器的最高频率为F ，则单位时间内输出的最大信息量是 2Flog （b-a ）bit/s.5. 若某一 信源X ，其平均功率受限为16w，其概率密度函数是高斯分布时，差熵的最大值为1log32eπ；与其熵相等的非高斯分布信2源的功率为16w≥6、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。

7、无失真信源编码的平均码长最小理论极限(S)）。

制为信源熵（或H(S)/logr= Hr8、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。

9、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。

10、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤〉”或“〈”（1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H(X)+H(X/Y)。

（2）假设信道输入用X表示，信道输出用Y 表示。

在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)<H(X)。

二、掷两粒骰子，各面出现的概率都是1/6，计算信息量：1.当点数和为3时，该消息包含的信息量是多少？2.当点数和为7是，该消息包含的信息量是多少？3.两个点数中没有一个是1的自信息是多少？解：1.P（“点数和为3”）=P（1,2）+ P（1,2）=1/36+1/36=1/18则该消息包含的信息量是：I=-logP（“点数和为3”）=log18=4.17bit2.P（“点数和为7”）=P（1,6）+ P（6,1）+ P（5,2）+ P（2,5）+ P（3,4）+ P（4,3）=1/36 6=1/6则该消息包含的信息量是：I=-logP（“点数和为7”）=log6=2.585bit3.P（“两个点数没有一个是1”）=1-P （“两个点数中至少有一个是1”）=1-P(1,1or1,jori,1)=1-(1/36+5/36+5/36)=25/36则该消息包含的信息量是：I=-logP （“两个点数中没有一个是1”）=log25/36=0.53bit三、设X 、Y 是两个相互统计独立的二元随机变量，其取-1或1的概率相等。

定义另一个二元随机变量Z ，取Z=YX （一般乘积）。

试计算： 1.H （Y ）、H （Z ）； 2.H （XY ）、H （YZ ）； 3.I （X;Y ）、I （Y;Z ）； 解： 1.2i 11111H Y P y logP y log log 2222i i =⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦∑（）=-（）（）=1bit/符号QZ=YX 而且X 和Y 相互独立∴1(1)(1)(1)P P X P Y P X ⋅=+=-⋅=-（Z =1）=P(Y=1)= 11122222⨯+⨯=2(1)(1)(1)P P X P Y P X ⋅=-+=-⋅=（Z =-1）=P(Y=1)=11122222⨯+⨯=故H(Z)= i2i1(z )log (z )i P P =-∑=1bit/符号2.从上式可以看出:Y 与X 的联合概率分布为:H(YZ)=H(X)+H(Y)=1+1=2bit/符号3.QX与Y相互独立，故H(X|Y)=H(X)=1bit/符号∴I （X;Y ）=H(X)-H(X|Y)=1-1=0bit/符号I(Y;Z)=H(Y)-H(Y|Z)=H(Y)-[H(YZ)-H(Z)]=0 bit/符号四、如图所示为一个三状态马尔科夫信源的转移概率矩阵P=1102211022111424⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1. 绘制状态转移图；P(Y,Z) Y=1 Y=-1Z=1 0.25 0.25 Z=-1 0.25 0.252. 求该马尔科夫信源的稳态分布；3. 求极限熵；解：1.状态转移图如右图 2.由公式31()()(|)jiji i p E P E P EE ==∑,可得其三个状态的稳态概率为：1123223313123111()()()()22411()()()2211()()()24()()()1P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E ⎧=++⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪++=⎩1233()72()72()7P E P E P E ⎧=⎪⎪⎪⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩3.其极限熵:3i i 13112112111H = -|E =0+0+72272274243228=1+1+ 1.5=bit/7777i P H H H H ∞=⨯⨯⨯⨯⨯⨯∑（E ）（X ）（，，）（，，）（，，）符号五、在干扰离散对称信道上传输符号1和0，已知P （0）=1/4,P(1)=3/4,试求：1. 该信道的转移概率矩阵P2. 信道疑义度H （X|Y ）3. 该信道的信道容量以及其输入概率分布 解：1.该转移概率矩阵为P=0.90.10.10.9⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.根据P （XY ）=P （Y|X ）⋅P （X ），可得联合概率P （XY ） Y Y X=0 9/40 1/40 X=13/4027/401 0.0.0.0.1P(Y=i) 12/40 28/40 由P （X|Y ）=P(X|Y)/P(Y)可得P(X|Y) Y=0 Y=1 X=0 3/4 1/28 X=1 1/427/28H(X|Y)=-i jiji j(x y )log x |y =0.09+0.12+0.15+0.035=0.4bit/P P∑，（）符号 3.该信道是对称信道，其容量为： C=logs-H=log2-H（0.9,0.1）=1-0.469=0.531bit/符号这时，输入符号服从等概率分布，即0111()22X P X ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦六、某信道的转移矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1.006.03.001.03.06.0P试求：该信道的信道容量及其最佳输入概率分布。

解：该信道是准对称信道，分解为两个互不相交的子信道矩阵0.60.30.30.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0.1000.1⎡⎤⎢⎥⎣⎦这里110.90.9N M == 220.10.1N M== ∴C=logr-H(P 的行矢量)-2k 1log 1(0.6.3.1)0.9log 0.9-0.1log 0.1KK NM H ==--⨯⨯∑，0，0=0.174bit/符号这时，输入端符号服从等概率分布，即()X P X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=011122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦七、信源符号X 有六种字母，概率为0.32,0.22,0.18,0.16,0.08,0.04。

用赫夫曼编码法编成二进制变长码，写出编码过程并计算其平均码长、编码后的信息传输率和编码效率。

解：该信源在编码之前的信源熵为：6i i 1()(x )log x i H S P P ==-∑（）=0.526+0.481+0.445+0.423+0.292+0.186=2.353bit/符号编码后的平均码长：(0.320.220.18)20.163(0.080.04)4L =++⨯+⨯++⨯=2.4码元/信源符号编码后的信息传输率为：() 2.3530.982.4H S R L===bit/码元编码效率为：max()0.98log RH S R L rη===码0111 0101010.0.0.0.0.0.“0 10 0.0 10 0. 1 0 1八、设在平均功率受限的高斯可加波形信道中，信道带宽为3KHz ，又设信噪比为101.试计算该信道传达的最大信息率（单位时间）；2.若功率信噪比降为5dB ，要达到相同的最大信息传输率，信道带宽是多少？ 解：1. 10d SNR B =Q 10SNR ∴=故：该信道传送的最大信息速率为：3t 4=log +log =bit/sC W ⨯⨯⨯（1SNR ）=310（11）1.04102.若SNR=5dB ，则10，在相同tC 情况下1.04410⨯=Wlog （1+SNR ）=Wlog4.162⇒W=5.04⨯310Hz。