2010年湖南师范大学大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读学校颁发的大学生数学建模竞赛的通知与规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：A题我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：团队名称：shujiyuan08参赛队员(打印并签名) ：1. 徐所属学院数计院联系电话2. 李所属学院数计院联系电话3. 王所属学院数计院联系电话日期： 2010年 5 月 31 日2010年南非世界杯冠军与八强的预测模型摘要世界杯是全世界的一次足球盛会，每届世界杯前夕对冠军的预测成为人们所讨论的热点问题。

本文就2010年南非世界杯的冠军及八强的预测建立了数学模型进行了探讨。

本文依据南非世界杯赛程，收集了：球队历年交锋记录、世界排名情况、国际足联评分标准等数据，运用了“层次分析法”对本届世界杯前期对手之间的交锋情况（相对实力）进行建模，运用了“六场分析法”对各球队最近比赛状态进行了分析，综合考虑了双方的交锋情况（相对实力）、球队国际排名（绝对实力）、球队近期状态三个因素对杯赛的影响，并且依据2006年德国世界杯比赛的相关情况对这三个因素的影响大小（权数）进行了模拟，该过程运用了“最小二乘法”进行了求解。

在建模过程中，我们依据国际足联的评分规则，对不同级别的赛事中不同结果比赛进行了加权处理，另外运用了MATLAB、Excel表格、C/C++等多种计算工具对数据进行了处理，预测了本届世界杯冠军以及8强球队，结果为：巴西队捧得本届“大力神”杯，八强中的其他7支球队分别是法国，阿根廷，英格兰，德国，荷兰，意大利和西班牙。

最后，我们对模型的优缺点进行了评价，讨论了其推广应用的价值。

关键字：层次分析法，世界排名，六场分析法，最小二乘法，加权处理，MATLAB，C/C++。

1. 问题的重述1930年世界杯足球赛举办首届, 每4年举行一次,迄今整整80年,中间除二战影响停办两届,已经成功举行了18届,每届世界杯赛前夕,对当届世界杯赛的冠军预测,对进入前8强队伍的预测,始终是一个热门话题，下面请就今年的第19届南非世界杯赛,利用各大网站或书籍上收集到的资料,各小组预选赛的成绩以及以往在大赛中对抗的成绩,给出一些合理的假设与前提,并对今年参赛的队伍建立一个适当的数学模型,给出你对这届世界杯的冠军和8强的预测结果.2.模型假设（1）32支队伍对比赛场地，当地气候，海拔等外界环境具有相同的适应能力； （2）恶劣天气等突发状况对比赛中各队发挥的影响相当；（3）32支队伍在比赛期间阵容齐整，球员身体健康，不存在球员受伤或离队情况； （4）裁判判罚尺度分明，执法公平公正；（5）每个球员都有良好的职业操守，每场比赛均能全力以赴，不存在打假球的情况；3．符号说明αϖ : α级别比赛权数βμ : 比赛结果为β的权数X N αβ : X 队在α级别比赛取得β成绩的场次X D : X 队在相对实力向量计算中的得分 X Q : X 队的“相对实力值”X R : X 队的最新世界排名 X P : X 队最新世界排名对应的积分 0P : X P 的最大值X P ' : X 队的“排名积分值” X ST : X 队的对手强度OR : 对手最新世界排名F : 在“状态值”求解中的名义得分 F ' : 在“状态值”求解中的实际得分 Z : “状态值”1ϕ : 与对手交锋情况对综合实力影响的权数 2ϕ : 最新世界排名对综合实力影响的权数 3ϕ : 球队近期状态对综合实力影响的权数 XY : X 队的综合实力 K : 得分矩阵 G : 情况矩阵 E : 比较矩阵4．问题分析及模型建立这是一个关于足球比赛结果预测的问题，总共有32支队伍，分为A、B、C、D、E、F、G、H8个小组，其分别为：A组：南非、墨西哥、乌拉圭、法国B组：阿根廷、尼日利亚、韩国、希腊C组：英国、美国、阿尔及利亚、斯洛文尼亚D组：德国、澳大利亚、塞尔维亚、加纳E组：荷兰、丹麦、日本、喀麦隆F组：意大利、巴拉圭、新西兰、斯洛文尼亚G组：巴西、朝鲜、科特迪瓦、葡萄牙H组：西班牙、瑞士、洪都拉斯、智利赛程：首先小组内部每队分别与其他三队各赛一场，最后按积分排名，选出头两名晋级16强，然后按以下图示赛程进行决赛阶段的比赛：表一：世界杯决赛阶段赛程表4.1赛前对手之间交锋情况模型：我们都知道，双方以前的交锋情况在很大程度上能反映它们之间的相对实力大小，所以有必要对双方交锋情况建立模型，进行分析。

4.1.1比赛有级别之分，而不同球队对不同级别的比赛重视程度有别，所以比赛的级别对我们评价球队实力有影响。

根据国际足联计算各国世界排名的标准（附件-1），大型足球比赛被分为以下几个级别，并被赋予不同的权值ϖ=4.0；世界杯正赛1ϖ=3.0洲际杯和联合会杯比赛2世界杯预选赛3ϖ=2.5 友谊赛，邀请赛4ϖ=1.04.1.2．为了增加模型的精确性，我们还对比赛结果进行大胜（净胜球>=3），小胜，平局，小负，大负（净输球>=3）的区分：并对其分别赋予12345::::μμμμμ=5:4:3:2:1的权值； 4.1.3．考虑到一个足球运动员的职业生涯为15年左右，因而只收集了交锋二队从1994年6月至2010年5月期间胜败情况进行分析（数据参见附件—4）。

4.1.4．用层次分析法建立双方的赛前交锋占优模型对于交锋双方a ，b 两队来说，每队各自的得分分别为45114511a b Da N Db N αβαβαβαβαβαβϖμϖμ======∑∑∑∑在小组赛中，针对四只队伍a ，b ，c ，d ，列如下的比较矩阵： E=1111Da Da Da Db Dc Dd Db Db Db Da Dc Dd Dc Dc Dc Dd Db Dd Dd Dd Dd Da Db Dc ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再采用类似权向量的计算方法，最终得到相对实力向量(),,,Qa Qb Qc Qd '，Q 值越大，其相对实力越强。

而在杯赛的决赛阶段，由于采用的是淘汰赛制，所以对于比赛两队e ，f 来说，依据它们的比较矩阵11e f f e D D D D ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，可求得实力向量(,)a bQ Q ，Q 值较大者相对实力较强。

4.2.世界排名模型：国际足联根据各队历年来的比赛结果，依据一定的标准，对各队每场比赛给以一个分数，再通过分数的累加，得到一个时间点的各球队世界排名。

由此可见，世界排名在很大程度上能反映各球队的绝对实力，这对我们分析综合实力有较大的影响。

以下是世界排名模型的建立：4.2.1我们搜集到本届杯赛32只球队的最新世界排名1R 2R …X R …32R 及其对应积分1P2P …X P …32P （附件—2），且确定max(X P )=0P ；4.2.2定义“排名积分值” X P ': X P '=X P /0P (0<=X P '<=1)球队排名积分值越大，其绝对实力越强，反之，则绝对实力较弱。

4.3.近期状态模型：体育竞技比赛中，运动员状态的对比赛胜负的影响十分显著。

足球世界杯比赛也不例外，一只球队近期的比赛状态的好坏，往往会导致该队在杯赛中有上佳或欠佳的表现，从而影响它们的比赛成绩。

所以，我们引用西方国家博彩业预测球队胜负的“六场预测法”，搜集各支队伍在杯赛前的最近六场大型比赛结果，进行分析，建立模型。

模型建立如下：4.3.1.由于选取的六场比赛各支队伍的对手不同，为了消除由于对手强弱差异而引起的“不公平”，我们参考国际足联拟定一个概念——“对手强度ST （Strength of opponent ）”，其值的取得根据国际足联计算各球队世界排名的规则（附件-1）：ST=（200-OR ）/100 (OR 为对手世界排名)。

4.3.2.又由足球赛一般积分规则“3-1-0”，可得到其六场比赛分别的名义得分n F （n=1 ，2...6）,再用Fn 与对手强度的乘积来表示其实际得分F 'n ，即F 'n=Fn*STn 。

4.3.3.其场均实际得分为6611*66nnnn n F F STF ==''==∑∑。

4.3.4.为了使后面的加权步骤更加合理，我们引进“状态值”Z 。

对于参赛的32支队伍，各自存在其场均实际得分，我们找出最大的F '值max F '，在用各自的F '比上max F '得到0-1之间的一个数值，这个数据就是我们要求的“状态值”:Z=F '/max F '“状态值”越高，则球队在世界杯的比赛状态越好，越有可能创造佳绩；而“状态值”越低，则该队在比赛中不易发挥出自己的正常水平。

4.4.综合以上三项因素分析：由于双方赛前交锋情况，球队最新世界排名，近期状态这三个因素对比赛结果的影响的程度不确定，因此我们对其赋予相应的权值1ϕ，2ϕ，3ϕ，再对其加权处理，则X 队综合实力可表示为X Y =X Q *1ϕ+Px '*2ϕ+X Z *3ϕ (1231ϕϕϕ++=)。

小组赛阶段，比较每个小组各队的综合实力X Y 大小，排在小组前两名的队伍晋级下一轮比赛，后两名则被淘汰；决赛阶段，比较对阵双方综合实力X Y 大小，X Y 值大的一只队伍会取得比赛胜利，即晋级下一轮，X Y 值小的一只队伍则被淘汰。

4.5. 权值1ϕ，2ϕ，3ϕ的估计：为了确保权值的精确性和科学性，我们用2006年世界杯前期球队交锋情况，2006年5月世界排名，2006年杯赛前期各队状态以及2006年世界杯比赛最终成绩等，来估计权值1ϕ，2ϕ，3ϕ，并最终将其应用到2010年世界杯成绩的预测中。

为了简化模型，且兼顾比赛的全过程，在小组赛阶段，我们选择F 组（巴西，克罗地亚，日本，澳大利亚）进行分析；决赛阶段（1/8决赛 ，1/4决赛，半决赛，决赛），我们选择当届世界杯冠军得主意大利队进行分析。

模型的建立：沿用以上对2010年世界杯成绩预测的模型，可获得：1. 小组赛F 组相对实力向量(),,,BKRAQ Q Q Q '（分别代表巴西，克罗地亚，日本，澳大利亚的相对实力）2. 1/8决赛中，意大利与澳大利亚的相对实力向量(),Y A Q Q ''3. 1/4决赛中，意大利与乌克兰的相对实力向量(),Y W Q Q ''4. 半决赛中，意大利与德国的相对实力向量(),Y D Q Q '''5. 决赛中，意大利与法国的相对实力(),Y F Q Q ''''6. 根据2006年5月fifa 世界排名（附件—3）结果，我们可以分别获得巴西，克罗地亚，日本，澳大利亚，乌克兰，德国，法国，意大利的“排名积分值”：,,,,,,,B K R A W D F Y P P P P P P P P '''''''' 7. 根据2006年世界杯前期的各队的6场比赛结果，我们可以分别获得巴西，克罗地亚，日本，澳大利亚，乌克兰，德国，法国，意大利的“状态值”： ,,,,,,,B K R A W D F Y Z Z Z Z Z Z Z Z ;8. 依据实际的06年世界杯F 小组的出线情况以及意大利队的夺冠之路，我们可以得到如下7个约束不等式（比赛成绩较好的队伍的综合实力值大于成绩较差的队伍）：B A K R Y A Y W Y DY FY Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y >>>>>>>（其中123***X X XX Y Q P Z ϕϕϕ'=++） 在模型的求解中，我们将用最小二乘准则，对1ϕ，2ϕ，3ϕ进行估计。