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用导数法求函数的最值的练习题解析

用导数法求函数的最值的练习题解析一、选择题1.函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的最大值是M ,最小值是m ,若M =m ,则f ′(x )( )A .等于0B .大于0C .小于0D .以上都有可能[答案] A[解析] ∵M =m ,∴y =f (x )是常数函数 ∴f ′(x )=0,故应选A.2.设f (x )=14x 4+13x 3+12x 2在[-1,1]上的最小值为( ) A .0 B .-2 C .-1D.1312[答案] A[解析] y ′=x 3+x 2+x =x (x 2+x +1) 令y ′=0,解得x =0.∴f (-1)=512,f (0)=0,f (1)=1312 ∴f (x )在[-1,1]上最小值为0.故应选A.3.函数y =x 3+x 2-x +1在区间[-2,1]上的最小值为( ) A.2227 B .2 C .-1D .-4 [答案] C[解析] y ′=3x 2+2x -1=(3x -1)(x +1) 令y ′=0解得x =13或x =-1当x =-2时,y =-1;当x =-1时,y =2; 当x =13时,y =2227;当x =1时,y =2. 所以函数的最小值为-1,故应选C.4.函数f (x )=x 2-x +1在区间[-3,0]上的最值为( ) A .最大值为13,最小值为34 B .最大值为1,最小值为4 C .最大值为13,最小值为1 D .最大值为-1,最小值为-7 [答案] A[解析] ∵y =x 2-x +1,∴y ′=2x -1,令y ′=0,∴x =12,f (-3)=13,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=34,f (0)=1.5.函数y =x +1-x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B .1 C .0D .不存在[答案] A[解析] y ′=12x -121-x =12·1-x -x x ·1-x由y ′=0得x =12,在⎝⎛⎭⎪⎫0,12上y ′>0,在⎝⎛⎭⎪⎫12,1上y ′<0.∴x =12时y 极大=2, 又x ∈(0,1),∴y max = 2. 6.函数f (x )=x 4-4x (|x |<1)( ) A .有最大值,无最小值 B .有最大值,也有最小值 C .无最大值,有最小值 D .既无最大值,也无最小值 [答案] D[解析] f ′(x )=4x 3-4=4(x -1)(x 2+x +1). 令f ′(x )=0,得x =1.又x ∈(-1,1) ∴该方程无解,故函数f (x )在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.7.函数y =2x 3-3x 2-12x +5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A .5,-15B .5,4C .-4,-15D .5,-16[答案] A[解析] y ′=6x 2-6x -12=6(x -2)(x +1), 令y ′=0,得x =2或x =-1(舍). ∵f (0)=5,f (2)=-15,f (3)=-4, ∴y max =5,y min =-15,故选A.8.已知函数y =-x 2-2x +3在[a,2]上的最大值为154,则a 等于( )A .-32 B.12 C .-12 D.12或-32[答案] C[解析] y ′=-2x -2,令y ′=0得x =-1. 当a ≤-1时,最大值为f (-1)=4,不合题意. 当-1<a <2时,f (x )在[a,2]上单调递减, 最大值为f (a )=-a 2-2a +3=154, 解得a =-12或a =-32(舍去).9.若函数f (x )=x 3-12x 在区间(k -1,k +1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是( )A .k ≤-3或-1≤k ≤1或k ≥3B .-3<k <-1或1<k <3C .-2<k <2D .不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′=3x 2-12,由y ′>0得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由y ′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k -1,k +1)上不是单调函数,所以有k -1<-2<k +1或k -1<2<k +1,解得-3<k <-1或1<k <3,故选B.10.函数f (x )=x 3+ax -2在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是( )A .[3,+∞)B .[-3,+∞)C .(-3,+∞)D .(-∞,-3)[答案] B[解析] ∵f (x )=x 3+ax -2在[1,+∞)上是增函数,∴f ′(x )=3x 2+a ≥0在[1,+∞)上恒成立即a ≥-3x 2在[1,+∞)上恒成立 又∵在[1,+∞)上(-3x 2)max =-3 ∴a ≥-3,故应选B. 二、填空题11.函数y =x 32+(1-x )32,0≤x ≤1的最小值为______. [答案] 22由y ′>0得x >12,由y ′<0得x <12.此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12上为减函数,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1上为增函数,∴最小值在x =12时取得,y min =22.12.函数f (x )=5-36x +3x 2+4x 3在区间[-2,+∞)上的最大值________,最小值为________.[答案] 不存在;-2834[解析] f ′(x )=-36+6x +12x 2,令f ′(x )=0得x 1=-2,x 2=32;当x >32时,函数为增函数,当-2≤x ≤32时,函数为减函数,所以无最大值,又因为f (-2)=57,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=-2834,所以最小值为-2834.13.若函数f (x )=x x 2+a (a >0)在[1,+∞)上的最大值为33,则a的值为________.[答案]3-1[解析] f ′(x )=x 2+a -2x 2(x 2+a )2=a -x 2(x 2+a )2令f ′(x )=0,解得x =a 或x =-a (舍去) 当x >a 时,f ′(x )<0;当0<x <a 时,f ′(x )>0; 当x =a 时,f (x )=a 2a =33,a =32<1,不合题意. ∴f (x )max =f (1)=11+a=33,解得a =3-1.14.f (x )=x 3-12x +8在[-3,3]上的最大值为M ,最小值为m ,则M -m =________.[答案] 32[解析] f ′(x )=3x 2-12 由f ′(x )>0得x >2或x <-2,由f ′(x )<0得-2<x <2.∴f (x )在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增.又f (-3)=17,f (-2)=24,f (2)=-8, f (3)=-1,∴最大值M =24,最小值m =-8, ∴M -m =32. 三、解答题15.求下列函数的最值: (1)f (x )=sin2x -x ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2≤x ≤π2;(2)f (x )=x +1-x 2.[解析] (1)f ′(x )=2cos2x -1. 令f ′(x )=0,得cos2x =12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,∴2x ∈[-π,π],∴2x =±π3,∴x =±π6.∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上的两个极值分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=32-π6,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=-32+π6. 又f (x )在区间端点的取值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=-π2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2=π2. 比较以上函数值可得f (x )max =π2,f (x )min =-π2. (2)∵函数f (x )有意义,∴必须满足1-x 2≥0,即-1≤x ≤1, ∴函数f (x )的定义域为[-1,1].f ′(x )=1+12(1-x 2)-12·(1-x 2)′=1-x1-x 2.令f ′(x )=0,得x =22 . ∴f (x )在[-1,1]上的极值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22=22+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫222= 2. 又f (x )在区间端点的函数值为f (1)=1,f (-1)=-1,比较以上函数值可得f (x )max =2,f (x )min =-1.16.设函数f (x )=ln(2x +3)+x 2.求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-34,14上的最大值和最小值.[解析] f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,+∞.f ′(x )=2x +22x +3=4x 2+6x +22x +3=2(2x +1)(x +1)2x +3.当-32<x <-1时,f ′(x )>0; 当-1<x <-12时,f ′(x )<0; 当x >-12时,f ′(x )>0,所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-34,14上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=ln2+14. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-34-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=ln 32+916-ln 72-116=ln 37+12=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-ln 499<0,所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-34,14上的最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=ln 72+116.17.(2010·安徽理,17)设a 为实数,函数f (x )=e x -2x +2a ,x ∈R . (1)求f (x )的单调区间及极值;(2)求证:当a >ln2-1且x >0时,e x >x 2-2ax +1.[分析] 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.解题思路是:(1)利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数,再利用函数的单调性证明.[解析] (1)解:由f (x )=e x -2x +2a ,x ∈R 知f ′(x )=e x -2,x ∈R . 令f ′(x )=0,得x =ln2.于是当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:ln2)∞) f ′(x ) - 0 + f (x )单调递减2(1-ln2+a )单调递增故f (x )的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),f (x )在x =ln2处取得极小值,极小值为f (ln2)=e ln 2-2ln2+2a =2(1-ln2+a ).(2)证明:设g (x )=e x -x 2+2ax -1,x ∈R ,于是g ′(x )=e x -2x +2a ,x ∈R .由(1)知当a >ln2-1时,g ′(x )最小值为g ′(ln2)=2(1-ln2+a )>0.于是对任意x ∈R ,都有g ′(x )>0,所以g (x )在R 内单调递增. 于是当a >ln2-1时,对任意x ∈(0,+∞),都有g (x )>g (0). 而g (0)=0,从而对任意x ∈(0,+∞),g (x )>0. 即e x -x 2+2ax -1>0,故e x >x 2-2ax +1. 18.已知函数f (x )=4x 2-72-x ,x ∈[0,1].(1)求f (x )的单调区间和值域;(2)设a ≥1,函数g (x )=x 3-3a 2x -2a ,x ∈[0,1].若对于任意x 1∈[0,1],总存在x 0∈[0,1],使得g (x 0)=f (x 1)成立,求a 的取值范围.[解析] (1)对函数f (x )求导,得f ′(x )=-4x 2+16x -7(2-x )2=-(2x -1)(2x -7)(2-x )2令f ′(x )=0解得x =12或x =72.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:x 0 (0,12) 12 (12,1) 1 f ′(x ) - 0 +f (x )-72-4-3所以,当x ∈(0,12)时,f (x )是减函数;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1时,f (x )是增函数. 当x ∈[0,1]时,f (x )的值域为[-4,-3]. (2)g ′(x )=3(x 2-a 2).因为a ≥1,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0.因此当x ∈(0,1)时,g (x )为减函数,从而当x ∈[0,1]时有g (x )∈[g (1),g (0)].又g (1)=1-2a -3a 2,g (0)=-2a ,即x ∈[0,1]时有g (x )∈[1-2a -3a 2,-2a ].任给x 1∈[0,1],f (x 1)∈[-4,-3],存在x 0∈[0,1]使得g (x 0)=f (x 1)成立,则[1-2a -3a 2,-2a ]⊇[-4,-3].即⎩⎨⎧1-2a -3a 2≤-4,①-2a ≥-3.②解①式得a ≥1或a ≤-53;解②式得a ≤32. 又a ≥1,故a 的取值范围为1≤a ≤32.。

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