f:X Y 。 a 1。 。 b 2。 。 3。 c fC:Y X 。 1 a。 。 2 b。 。 3 c。
定理1 若f是XY的双射，则fC是YX的函数。

证明：（1）对任意的y∈Y，由f是双射，得f是满 射，所以ran f=Y 故 dom fC=ran f=Y （2）对任意的y∈Y，若存在x1∈X， x2∈X使 <y, x1>∈fC 且 <y, x2>∈fC 则 <x1,y>∈f 且 <x2,y>∈f 由于f是单射，有x1=x2。 由（1）、（2）， fC是YX的函数。



⑵ 设f和g是入射的，因g f :XZ,任取x1, x2∈X,

x1≠x2，因f:XY是入射的，f(x1)≠f(x2) , 而 f(x1) ,f(x2)∈Y，因g:YZ是入射的，g(f(x1))≠g(f(x2)) 即g f (x1)≠ g f (x2)

所以g f 也是入射的。

六. 函数的类型
例子：
X 1。 2。
f
。 a 。 b 3。 c 4。 。
Rf=Y
Y
X 1。 2。
g
。 a 。 b 3。 c 4。 。
RgY
Y
X1
1。 2。
。 a 。 b 。 。 3 c 。 d
RhY1 一对一
h
Y1
1。
。 a 。 b 2。 。 c 3。
Rs=Y 一对一
X1
s
Y
函数的类型
1.满射的：f:XY是函数，如果 ran f=Y,则称f 是满射的。 2.入射的：f:XY是函数，如果对于任何x1,x2∈X, 如果 x1≠x2 有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),则x1=x2), 则称f 是入射的，也称f 是单射的，也称f 是一对一的。 3.双射的：f:XY是函数，如果 f 既是满射的，又是 入射的，则称 f 是双射的，也称f 是一一对应的。 特别地：：Y是单射； ：是双射。

函数的复合
定义：设
f:XY, g:WZ是函数,若f(X)W,
则 g f ={<x,z>|xXzZy(yY <x,y>f<y,z>g)} 称为g在f的左边
证明：设 f:XY, g:WZ是函数,且f(X)W。 （1）对任意的xX，因为f是函数，故存在唯一 的序偶<x,y>，使得y=f(x)成立,而f(x)f(X)W, 又因为g是函数，故存在唯一的序偶<y,z>，使 得z=g(y)成立，根据复合定义，<x,z>g∘f,即 dom g∘f=X. （2）假设<x,z1>g∘f且<x,z2>g∘f，由复合定 义存在y1Y y2Y，使得 <x,y1>f<y1,z1>g <x,y2>f <y2,z2>g, 由于f、g为函数，所以有，y1=y2，因而z1=z2。 由（1）、（2）得g∘f是X到Z的函数。
用关系图复合:
三.函数复合的性质 4 定理1（满足可结合性）。 f:XY, g:YZ, h:ZW 是函数,则
(h g) f=h (g f)

g f X Y Z 。 。 1 1。 1 。 2 。 。 2 。 2 3 。 。 3 。 4 3 。 。 5
g f X 1。 2。 3。
四. 特殊函数
1. 常值函数：函数f:XY ，如果y0∈Y, 使得对x∈X, 有f(x)=y0 , 即ran f={y0} ,称f是常值函数。 2.恒等函数：恒等关系IX是X到X函数，即IX:XX,称之为 恒等函数。显然对于x∈X，有 IX(x)=x 。
五 .两个函数相等
设有两个函数f:AB g:AB, f=g 当且仅当 对任何x∈A，有f(x)=g(x)。

Z 。 1 。 2 。 3 。 4 。 5
定理2. f:XY, g:YZ是两个函数, 则
⑴如果f和g是 满射的，则 g f 也是满射的；

⑵如果f和g是入射的，则 g f 也是入射的；

⑶如果f和g是双射的，则 g f 也是双射的。 证明：⑴ 设f和g是满射的，因g f :XZ,任取z∈Z, 因 g:YZ是满射的，所以存在y∈Y,使得z=g(y), 又因 f:XY是满射的，所以存在x∈X,使得y=f(x), 于是有 z=g(y)=g(f(x))= g f (x), 所以 g f 是满射的。

二.性质 1.定理1 设f:XY是双射的函数，则(f-1)-1= f 。 2.定理2 设f:XY是双射的函数，则有 f-1 f= IX 且 f f-1 = IY 。 证明：先证明定义域、陪域相等。
因为 f:XY是双射的，f-1:YX也是双射的，所以
f-1 f :XX , IX:XX 可见f-1 f 与IX 具有相同的定义域和陪域。 再证它们的对应规律相同：x∈X，因f:XY，yY, 使得 y=f(x),又f 可逆，故 f-1(y)=x，于是 f-1 f (x)=f-1(f(x))=f-1(y)=x= IX (x) 同理可证 f f-1 = IY 。
思考题：如果 f:XX是入射的函数，则必是满射的，所 以 f 也是双射的。此命题在什么条件下成立吗？
5-2
函数的复合
关系的复合： 设R是从X到Y的关系，S是从Y到Z的关系， 则R和S的复合关系记作R S 。定义为： R S ={<x,z>|xXzZy(yY <x,y>R<y,z>S)}
2.定义域、值域和陪域(共域)
设f:XY, f的定义域(domain)，记作dom f，或Df 即 Df =dom f={x|x∈X∧y(y∈Y∧<x,y>f)} =X f的值域(range) ：记作ran f， 或Rf 即或f(X) Rf =ran f=f(X)={y| y∈Y∧x(x∈X∧<x,y>f)}
5-1
函数的基本概念
一.概念 定义：X与Y集合，f是从X到Y的关系，如果任何x∈X， 都存在唯一y∈Y，使得<x,y>∈f,则称f是从X到Y的函数， (变换、映射)，记作f:X Y, 或X Y. 如果f:XX是函数, 也称f是X上的函数. 下面给出A={1,2,3}上几个关系，哪些是A到A的函数？
1。
X
f
。 3。
2
。 a 。 b 。
c
-1 Y f X
。 1 。 2 。 3
X 1。 2。
IX
X
3。
。 1 。 2 。 3
3.定理3 令 f:XY, g:YX是两个函数, 如果 g f= IX 且 f g = IY ,则 g= f-1 。 证明：⑴证f和g都可逆。因为g f= IX ， IX是双射的， 由关系复合性质3得， f是入射的和g是 满射的。 同理由 f g = IY，得g是入射的和f 是 满射的。所 以f和g都可逆。 ⑵显然f-1和g具有相同的定义域和陪域。
f的陪域(codomain):即是Y(称之为f的陪域)。
二. 函数的表示方法
有 枚举法、关系图、关系矩阵、谓词描述法。
三.从X到Y的函数的集合YX：
YX ={f| f:XY} YX ：它是由所有的从X到Y函数构成的集合 例 X={1,2,3} Y={a,b} 求所有从X到Y函数． 结论： 若X、Y是有限集合，且|X|=m，|Y|=n，则 |YX|=|Y||X|=nm。从X到Y的关系= |P(X Y)|= 2nm. 规定：从∅到∅的函数只有f=∅。 从∅到Y的函数只有f=∅。 若X≠∅，则从X到∅的函数不存在。
f
1
。
2
1
。
2
1
。
1
。
2
。 。 3
R1
。 。 3
R2
。 。 2。 。 3 3
R3 R4
下面哪些是R到R的函数？
1 f={<x,y>|x,y∈R∧y= __ } x g={<x,y>|x,y∈R∧x2+y2=4 } h={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 } r ={<x,y>|x,y∈R∧y=lgx } v ={<x,y>|x,y∈R∧y= √ x }
逆函数的定义
定义：设f是XY的双射函数，则称fC：YX为f的逆函 数，并记f-1。 定理： f-1是YX的双射函数。 证明：由于ran f-1=dom f=X， 所以， f-1是满射。 对任意x∈X，若存在y1, y2 ∈Y,使得 <y1,x> ∈ f-1 且 <y2,x> ∈ f-1 则 <x,y1> ∈f 且 <x, y2> ∈f， 由于f是函数，所以y1= y2，即f-1是单射。 因此， f-1是双射。
c
Y
g
X
。 1 。 2
X 1。 2。
IX
X
。 1 。 2
4.定理4,令 f:XY, g:YX是两个双射函数,则 (g f) -1 =f -1 g-1
定理3 ⑴如果 gf 是满射的，则g是 满射的； ⑵如果gf 是入射的，则 f 是入射的；
⑶如果 gf 是双射的，则f是入射的和g是 满射的。
定理4 f:XY是函数, 则 f IX= f 且 IYf=f 。
5-3
逆函数
R是A到B的关系，其逆关系RC是B到A的 关系。 RC={<y,x>|<x,y>R} f:XY fC:YX, 是否是函数？
⑶证明它们的对应规律相同。 任取yY， f-1(y)= f-1 IY (y) = f-1 (f g) (y) = (f-1 f) g (y) =( IX g) (y) =g(y) 所以f-1 =g 注： f-1 =g 的两个条件必须同时满足，缺一不可。