假设6：顾客的占比率与满意度成正比。
假设7：的士司机因打车软件每月多赚取的收入Q为司机因降低空驶率而省下的油费，并假设司机每月跑的路程与每公里油费的乘积l不变。
三、符号说明
搜索起点
j
搜索起点区域集合
J
搜索终点
i
搜索终点区域集合
I
出租车从交通区j到i的最短路径行驶时间
出租车在i区的平均搜索时间
i区的出租车需求产生量
最后，对模型进行了评价，分析了模型的优缺点，并针对解决打车难问题给出了合理的建议。
关键词：空驶率供求匹配平衡迭代算法满意度
一、问题重述
1.1问题背景
随着经济的快速发展，人们对出行的要求也变得越来越高，出租车是逐渐成为出行的必备工具，然而“打车难”却发展成为一个社会的热点问题。伴随着“互联网+”时代的到来，许多家公司以移动互联网为基础建立了打车软件服务平台，方便了乘客与出租车司机之间的信息互动，为了使人们更多的使用打车软件，打车公司同时推出了多种出租车的补贴方案。
针对问题二，建立顾客满意度模型，分析了影响顾客满意度的几个主要因素，首先介绍了出租车司机占比和顾客占比的变化规律，重点讨论了司机积极度对满意度的影响，并根据现阶段各打车公司的补贴措施分析了计算结果，并得出结论：各公司的补贴措施对打车难确实有帮助。
针对问题三，在第二问的基础上建立优化模型，同时控制出租车空载率保持恒定，并利用MATLAB编程，得到最佳的补贴方案。然后对模型检验，论证了模型的合理性。
假设驾驶员选择行为的随机性满足二重指数分布[2]，则从j区出发的空驶出租车选择i区作为搜索方向的概率为
注： 值反映了驾驶员对乘客需求分布、行驶时间及其他出租车运行状态等信息的不确定性。
照着这样的搜索规律,理论上讲,总会有少许的车辆永无止境搜索下去,但是这种情况在现实中是不可能存在的。结合出租车空驶搜客过程的特征,假设搜索不成功概率 与搜索时间 之间满足线性分布可建立如下关系
对图1中的两条行驶轨迹的选择概率可表示为：
当 为0时,意味着从j区出发的空驶出租车在到达i区之前就载到了乘客,所以可根据距离关系决定j区的空驶出租车在i区载客的可能路径集，从j区出发而在i区搜索到乘客的出租车数量比例为
式中， 为可能搜索路径集。
出租车运行时间包括载客时间和空驶时间。总载客时间 为完成所有需求所耗费的时间，即
五、模型的建立与求解
5.1 模型一：出租车空驶模型
出租车的需求和供应基于时空，那么网络平衡模型与道路结构、乘客OD分布相关，乘客OD分布与出行时间有关。对某区从06: 00至20:00空驶次数进行详细的统计分析，最终得到区域内运营出租车的变化情况，如图1
图1 不同时段出租车空驶(等候)过程次数统计
由图可知出租车运营主要集中在07:00-08:00之间，此时间段正是早高峰，此时的交通情况不容乐观严重，鉴于时间和经济的因素，大多数出租车司机不愿意在该区域内停留，区域内能够正常运营的出租车数量较少。待到早高峰期过去之后，出租车又开始进入该区域。在下午13:00-16:00之间，区域内的出租车运营次数逐渐增加。16:00运营的出租车数量开始慢慢减少。19:00以后，道路交通压力缓解，出租车开又始正常进出该区域。
假设3：所有可能搜索路径均不包含迂回线路。
假设4：软件公司为用户提高的生活服务质量日趋完善，出租车司机的占比每年增长，但增长速度每年递减，最后使用打车软件的人数稳定在一定数量（即达到饱和状态）。
假设5：出租车司机的占比、积极度的平方以及空驶率的平方与顾客的等待时间成反比，即 ；d为常系数。假设顾客的满意度跟等待时间成负相关，且满足 ，其中t顾客等待打车的时间，h为常系数，顾客的满意度跟的士的占比成正相关，可以这么理解，使用打车软件的出租车越多，乘客越容易在短时间内打到车，即满意度越高。
出租车空驶过程，包括寻找乘客空驶的过程、出租车司机停车后外出的出租车空载的过程，以及由于手机数据缺失、数据延迟造成的长时间空驶(等待)过程假相。对于空驶率按照如下公式计算：
空驶率=统计数据中单位时间空驶的记录 / 统计数据中单位时间内所有记录
设K为筛除阀值参数，如果该数据记录相应的出租车空驶时间大于K，则此次数据不在计算范围内。设置不同筛除阀值参数，计算出租车空驶率，如表1
w1
使用软件后的空驶率
w
打车软件公司每天收取的费用
u
打车软件每单补贴费用
r
每月跑的路程与每公里油费的乘积
l
四、问题分析
经济的快速发展和人民生活水平的日益提高，使得出租车这种能够根据乘客需求而提供服务的交通工具越来越受到出行者的青睐，出租车的运输需求与供给是相互联系，不可分割的。如果供给大于需求，则空驶率增加，如果需求大于供给，则会产生打车难的问题。目前国内许多大城市出租车的供求匹配并不是很理想，打车难这种现象频繁出现。因此建立合理的模型，并且加以分析不同时空下的出租车资源匹配问题，显得尤为重要。
“互联网+”时代的出租车资源配置
摘要
本补贴措施对打车难的影响、设计新补贴方案等问题分别建立了模型，并对结果进行了详细的分析。
针对问题一，首先分析了不同时段出租车空驶过程次数和空驶等候时间统计数据，建立出租车空驶模型，计算出不同时间段的空驶率，并给予建议：在早高峰期应当适当增加出租车的数量。然后又研究了城市出租车网络的运营特性与载客和空载阶段的出租车路径选择行为特征，分析了固定需求条件下出租车运营网络的供需平衡关系，建立了城市出租车网络供求匹配平衡模型，以客观地反映驾驶员的搜客行为规律，并针对模型结构特征设计了模型求解的迭代求解算法。最后通过简单的算例分析，证实了算法的有效性。
当出租车在i区完成载客任务后，出租车的运行状态便转入空驶状态，出租车司机将会进行新客源的搜索。出租车的空驶搜客过程一般为:设定初始的搜索方向;当按照原先设定的搜索方向没有搜索到乘客，驾驶员将会重新确定新的搜索方向，直至搜索到乘客为止。另外由于出行者需求的随机性，搜索到新乘客的地点可能在本区也可能在其他区域内。另外，出租车的搜索行为也因驾驶员个体差异而表现不同，使得从本区i出发在j区搜索到乘客的出租车的行驶路线也不能够完全相同。如图1显示了从本区j出发在i区搜索到乘客的出租车2条可能的空载行驶轨迹
乘客等待时间是衡量出租车服务水平的重要指标之一，是管理部门确定合理出租车规模大小的重要考虑因素,等待时间受出租车拥有量、道路布局、城市布局、交通信息的可获得性、道路交通状况等多种因素的综合影响。
建立交通区i内的出租车乘客平均等待时间 与交通区的道路总里程公里数 、出租车辆到达率 、出租车平均搜索行驶速度 和平均区内搜索时间 之间的关系为
1.2需要解决的问题
(1) 试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。
(2) 分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？
(3) 如果要创建一个新的打车软件服务平台，将设计什么样的补贴方案，并说明其合理性。
二、模型假设
假设1：在派遣运行过程中不存在路抛现象。
假设2：载客阶段出租车以乘客起点和终点间的最短路径完成运输。
当所有的车辆完成运输后变为空车,再从小区j以概率 驶向小区i搜索乘客,那么出租车从小区j到小区i的空驶交通量 为
在供求匹配平衡状态下,存在以下平衡关系
平衡状态下的出租车网络运营模型为
从式(1)～(7)所列出的变量之间的关系,可知在既定的区域关系及需求分布的条件下,模型(12)中的变量仅为各交通区的平均搜索时间 ，并且所得的数量等于交通区数量。从结构来分析,恰好有与交通区数目相等的独立方程式数,从数学辩证的角度得出该模型具有唯一解。
问题一为确定城市出租车的合理发展规模，要求建立合理的指标，分析不同时空条件下出租车资源的“供求匹配”程度，我们首先研究了在不同时空下出租车的空驶率，通过空驶率与载客率的关系得出不同时间段的载客率，然后研究城市出租车网络的运营特性。分析在固定需求条件下城市出租车运营网络的供求匹配关系，建立了城市出租车供求匹配网络平衡模型，并对模型结构特征运用迭代算法进行数据的处理。
上述模型式(12)建立起了出租车规模N与各交通区的搜索时间 的关联，将其引入到式(13)中，即可得到两者的对应关系，这将能够直观的表现出出租车资源的“供求匹配”程度。
5.3模型的求解
出租车网络供求匹配平衡模型实是一个典型的多元非线性方程组，基于计算的复杂性设计有效的迭代求解算法。对于模型式(12)的结构：模型中式(11)所包含的部分实际为 个独立方程式( 为交通区总数)，可以唯一确定 个未知变量，这就意味着另一个未知变量必须通过式(8)来求解。提取某个子解， 对式(8)进行形式变换,得出下式
总空驶时间包括从小区 到小区 的空驶时间与在小区 内的搜索时间，即
出租车总载客时间与总空驶时间之和为出租车的总的运行时间，以1 h作为统计时间，则
式中，N为出租车总运营车辆数。
5.2.3 供求匹配平衡关系
在所研究的时间段内,如果各交通区的出租车出行需求OD能够全部被满足,那么称该交通网络达到了出租车运营供求匹配平衡状态。在供求匹配平衡的状态下，从出租车的运行过程来看,载客的出租车从各小区i到达小区j，来满足目的地小区j的出租车需求,即
对出租车空驶(等候)时间0-20分钟进行分析，得到不同时段出租车空驶等候时，如图2
图2 不同时段出租车空驶等候时间（0-20分钟)统计
早晚高峰期间，区域内出租车供不应求。一方面，区域内出行主要以通勤为主，对出租车的需求增加，另一方面，道路拥堵，空载车辆行驶速度慢，行程延误增加。高峰过后，供求关系逐渐由供不应求逐渐变成为供大于求。晚高峰出行时间主要集中在16:00-18:002个小时内，相对于早高峰供求关系有所缓解。
图1租车搜索路径的选择
注：圆代表不同的交通区，各圆间的连线和附带权值分别表示两两交通区之间的邻接关系及最短时距。
在固定需求条件下，出租车司机的选择意向决定了空驶搜索行驶路径的选择特点。一方面，对于每个出租车司机而言，总是希望尽快地接到生意，因此他们会首先考虑自己认为乘客出现率较高并且距离较近的区域作为搜索目标的区域，由于司机自身特征的不同，对搜索目标区域的选择具有一定的随机性;另一方面，虽然出租车对乘客的搜索行为存在一定的随机成分，但是客观上搜索到乘客的概率还是随着搜索时间的增加而提高。因此，对出租车司机的空驶搜索过程作更进一步的补充描述:出租车司机仅在相邻交通区集内选择目标区域作为新的搜索方向。