2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞(-,+)连续,其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为() (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【答案】(C)【考点】拐点的定义 【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由()f x ''的图形可知,曲线()y f x =存在两个拐点,故选(C).2、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解,则()(A )3,1, 1.a b c =-=-=- (B )3,2, 1.a b c ===- (C )3,2, 1.a b c =-== (D )3,2, 1.a b c === 【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】211,23x xe e -为齐次方程的解,所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根,从而()123,122,a b =-+=-=⨯=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得: 1.c =-3、若级数1n n a ∞=∑条件收敛,则x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的:(A )收敛点,收敛点 (B )收敛点,发散点(C )发散点,收敛点 (D )发散点,发散点 【答案】(B)【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★【详解】因为1nn a∞=∑条件收敛,故2x =为幂级数()11nn n a x ∞=-∑的条件收敛点,进而得()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1,收敛区间为()0,2,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间,故()11nn n na x ∞=-∑的收敛区间仍为()0,2,因而x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的收敛点、发散点.4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A )12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰(C )13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得,4πθ=;由y =得,3πθ=由21xy =得,22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得,24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若集合{1,2}Ω=,则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为(A ),a d ∉Ω∉Ω (B ),a d ∉Ω∈Ω(C ),a d ∈Ω∉Ω (D ),a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-,其中123(,,)P e e e =,若132(,,)Q e e e =-,则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为(A )2221232y y y -+ (B )2221232y y y +- (C )2221232y y y -- (D )2221232y y y ++ 【答案】(A)【考点】二次型 【难易度】★★【详解】由x Py =,故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且:200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+,故选(A)7、若,A B 为任意两个随机事件,则(A )()()()P AB P A P B ≤ (B )()()()P AB P A P B ≥(C )()()()2P A P B P AB +≤(D )()()()2P A P B P AB +≥【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥()()()2P A P B P AB +∴≤故选(C )8、设随机变量X,Y 不相关,且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ (A )-3 (B )3 (C )-5 (D )5 【答案】(D) 【考点】【难易度】★★★ 【详解】二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. 9、20ln cos limx xx →=【答案】12-【考点】极限的计算 【难易度】★★【详解】2222200001ln cos ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- 10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰【答案】24π【考点】积分的计算 【难易度】★★【详解】2220-2sin ()21cos 4x x dx xdx xππππ+==+⎰⎰ 11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确定,则(0,1)dz =.【答案】【考点】隐函数求导 【难易度】★★【详解】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-,则1sin x F yz x '=+-,y F xz '=,z F xy '=,又当0,1x y ==时,0z =,所以(0,1)1x z F z x F '∂=-=-'∂,(0,1)0y z F zy F '∂=-='∂,因而(0,1)dz dx =-12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域,则 【答案】14【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★【详解】由轮换对称性,得其中D z 为平面z =z 截空间区域W 所得的截面,其面积为121-z ()2.所以 13、n 阶行列式2002-1202002200-12=【答案】122n +-【考点】行列式的计算 【难易度】★★★【详解】按第一行展开得14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0,1,1,0)N ,则(0)P XY Y -<=.【答案】12【考点】【难易度】★★ 【详解】(,)~(1,0,1,1,0)X Y N ,~(1,1),~(0,1),X N Y N ∴且,X Y 独立1~(0,1)X N ∴-,}{}{0(1)0P XY Y P X Y -<=-<三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分10分)设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅,3()g x kx =,若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小,求a ,b ,k 值。
【考点】等价无穷小量,极限的计算 【难易度】★★★【详解】()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅3()()f x g x kx ∴=与是等价无穷小16、(本题满分10分)设函数在()f x 定义域I 上的导数大于零,若对任意的0x I ∈,曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成的区域的面积为4,且(0)2f =,求()f x 的表达式. 【考点】微分方程 【难易度】★★★ 【详解】如下图:0x x =处的切线方程为l :000()()()y f x x x f x '=-+l 与x 轴的交点为:0y =时,000()()f x x x f x =-',则000()()f x AB x x f x ==-',因此,000011()()()422()f x S AB f x f x f x =⋅=='.即满足微分方程:218y y '=,解得:118x c y =-+. 又因(0)2y =,所以12c =,故84y x=-. 17、(本题满分10分)已知函数xy y x y x f ++=),(,曲线3:22=++xy y x C ,求),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数.【考点】方向导数,条件极值 【难易度】★★★【详解】根据方向导数与梯度的关系可知,方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.,故故),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数为()22)1(1x y +++,其中y x ,满足322=++xy y x ,即就求函数22)1()1(x y z +++=在约束条件0322=-++xy y x 下的最值. 构造拉格朗日函数=),,(λy x F )3()1()1(2222-++++++xy y x x y λ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=+++=∂∂=+++=∂∂0302)1(202)1(222xy y x F x y y yF y x x x Fλλλλλ可得)1,1(),1,1(--)2,1(),2,2(,-- 其中)2,1(9)1,2(,0)1,1(,4)1,1(-==-=--=z z z z 综上根据题意可知),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数为3. 18、(本题满分10分)(Ⅰ)设函数(),()u x v x 可导,利用导数定义证明(Ⅱ)设函数12(),()...()n u x u x u x 可导,12()()()...(),n f x u x u x u x =写出()f x 的求导公式.【考点】导数定义 【难易度】★★ 【详解】()I19、(本题满分10分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为A,终点为(0,B ,计算曲线积分2222()()()LI y z dx zx y dy x y dz =++-+++⎰【考点】曲线积分的计算【难易度】★★★【详解】曲线L的参数方程为cos ,,cos ,x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩θ从2π到2π-20、(本题满分11分) 设向量组123,,ααα是3维向量空间3的一个基,11322k βαα=+,222βα=,313(1)k βαα=++。