2015 普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合 A=x 1x 2 , B x 0 x 3 ,则A BA.(-1 ， 3)B.(-1 ， 0 )C.(0 ， 2)D.(2 ， 3)1、选 A(2) 若 a 实数，且2ai3 i,则 a 1iA.-4B.-3C.3D.42、解：因为2ai(3i )(1i )24i ,所以 a 4.故选D(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是2700260025002400230022002100200019002004200520062007200820092010201120122013(年)A. 逐年比较， 2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。

3、选 D（4）已知向量a(0,1), b( 1,2), 则（2a b） aA. -1B. 0C. 1D. 24、选 B(5) 设S n是等差数列a n的前n项和，a1a3a5 3,则S5若A. 5B. 7C. 9D. 115、解：在等差数列中，因为(a1a5 )5- 1 -(6) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为1 1 1 1 A.B.C.D.87656、解：如图所示，选D.(7)已知三点 A(1，0), B(0，3)，C(2，3),则 ABC 外接圆的 圆心到原点的距离为A.5B.21 C.2 5 D. 433337、解：根据题意，三角形 ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为 D ，则 D （ 1，23）所以，34 7 21 OD1.故选 B.333(8) 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” 。

执行该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,18，则输出的 a 为开始输入 a,ba>b是a b 否输出 a是否a=a-b b=b-a结束A. 0B. 2C. 4D.148、解： 18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2, 所以 a=b=2，故选 B.(9) 已知等比数列a n 满足 a 11, a 3 a 5 4(a 4 1), 则 a 2 C141A. 2B. 1C.D.289、解：因为 a n 满足 a 11, a 3 a 5 4(a 4 1), 所以，4a424(a4 1), 解得 a42,又 a4a1q3，所以 q2,所以 a2 a1 q121.故选C.42（10）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB90 , C为该球面上动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为A. 36 πB. 64 πC. 144πD.256 πD P C10 、解：因为A,B都在球面上，又AOB90 , C为该球面上动点，所以x1 1 R2 1 R3A B 三棱锥的体积的最大值为R36 ，所以R=6，O326所以球的表面积为S= 4πR2144 π，故选C.(11)如图，长方形的边 AB=2 ，BC=1,O 是 AB 的中点，点 P沿着边 BC,CD, 与 DA 运动，记D P CBOP x, 将动点 P到 A, B两点距离之和表示为函数f ( x), 则f (x)的图x像大致为A O BY YY Y 2222O ππ3ππXO π π3π πXOππ3ππX Oπ π 3ππX2424 42442444CDA B11、解：如图，当点P在 BC 上时，BOP x, PB tan x, PA 4 tan2x ,PA PB tan x4tan 2x,当 x时取得最大值 1 5 ，4以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB< 15.又函数 f ( x) 不是一次函数，故选 B.（12）设函数 f ( x)ln( 1 x )1,则使得 f (x)f ( 2x 1)成立的 x 的范围是1x 2A. (1,1), 1)C. ( 1,1), 1)(1, ) B. ((1, )D. (333333112、解：因为函数f (x) ln(1x )1x 2 ,是偶函数， x[0,)时函数是增函数f (x)f (2 x 1)x2x 1, x 2(2x 1) 2, 解得1x 1. 故选 A.3第二卷二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分（13）已知函数 f ( x) ax 32x 的图像过点（ -1,4），则 a。

13、答： a=-2x y 5 0,（14）若 x,y 满足约束条件2x y 1 0,则 z 2x y 的最大值为。

x2y 1 0,14、解：当 x=3,y=2 时， z=2x+y 取得最大值 8.（15）已知双曲线过点 （4，,3）y1 x ，则该双曲线的标准方程为，且渐近线方程为2。

15、解：设双曲线的方程为x 2 4 y 2k( k 0), 点（4，,3）代入方程，解得 k 4.双曲线的标准方程为x 2 y 2 14（16）已知曲线 yx ln x 在点（1,1）处的切线与曲线 y ax 2(a 2) x 1相切，则 a。

16、解： y'1 1 , 切线的斜率为 2，切线方程为 y 2x1.x将y 2x 与ax 2 (a联立得ax 2ax2 0,1 y2) x 1 由a 28a 0, 解得 或a时曲线为 y 2x 与切线平行，不符。

a 8 0.a 01 所以 a 8.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分 12 分）ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分BAC, BD 2DC.（Ⅰ）求sinB;（Ⅱ）若BAC 60 , 求 B.sin C17、解：（Ⅰ）由正弦定理得sin B AC, sin C AB再由三角形内角平分线定理得AC DC 1 ， sin B 1 .AB BD2sin C2（Ⅱ）BAC60 ,B C120由（）得sinB1sin C2sin B,sin(120B) 2 sin B,展开得1sin C2tan B 3 ,B30 .318. （本小题满分12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A, B 两地区分别随机调查了 40 个用户 ,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005O4050 60708090 100 满意度评分B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2814106（I ）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）B地区用户满意度评分的频率分布直方图频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005O5060708090100满意度评分（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于 70分70分到 89分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由 .18、解：（ 1） B 地区频率分布直方图如图所示B 地区用户满意度评分的频率分布直方图频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005O5060708090100满意度评分比较 A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A 地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分B 地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分A 地区用户评价意见较分散，B 地区用户评价意见相对集中。

（2） A 地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6 ，B 地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25 ，所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。

19. （本小题满分12 分）如图 ,长方体ABCD A BC D 中AB=16,BC=10, AA8 ,点E,F11111分别在 A1B1, D1C1上, A1E D1F 4.过点 E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 .D1F1CA1EB1D CA B（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.19、解：（ I）在 AB 上取点M, 在 DC 上取点N，使得D1F C1 AM=DN=10, 然后连接 EM,MN,NF, 即组成正方形EMNF ，即平面α 。

A 1EB 1（II ）两部分几何体都是高为10 的四棱柱，所以体积之比DC 等于底面积之比，即A B1S AMEA14107V.V2SEMBB1612920.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C : x2y2 1 a b 0 的离心率为2,点2, 2 在C上. a2b22（I）求 C 的方程；（II ）直线 l 不经过原点O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点A,B,线段 AB 中点为 M ,证明：直线 OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.20、解、（ I ）如图所示，由题设得c 2 ,a2又点的坐标满足椭圆的方程，所以421，a2b2联立解得：a28,b24,所以切线 C的方程为：x 2y281.4（II ）设 A,B 两点的坐标为YBC(2,2)MO X A（ x1, y1），（ x2 , y2）,点 M 的坐标为（ m, n）,k om n .m 则 x122y128, x22 2 y228,上面两个式子相减得：2( y22y1 2 )( x22x12 )0.变形得y2y1 1 x1x2 1 2m m. x2x1 2 y1y2 2 2n2nk l kom y2y1n(m )n1. （定值）x2x1m2n m221. （本小题满分12 分）已知 f x ln x a 1 x .（I ）讨论 f x 的单调性；（II ）当f x 有最大值,且最大值大于2a 2 时,求a的取值范围.21、解：已知 f x ln x a 1 x .(1)1a.f ' ( x)x当 a0时，函数 f (x)在（ 0， ）上是增函数；当 a 0时，函数 f ( x)在（ 0, 1 )上是增函数，在 ( 1, )上是减函数 .a a（II ）由（ 1）知，当 a 0时，函数 f (x)在x1时取得最大值 f ( 1) a 1 ln a.a a由a 1 ln a 2a2,整理得 ln a a 1 0.设 g (x) ln x x 1,则 （ ） 1 1在（ ， ）是增g' x, a 0 x 0, g' (x) 0, g( x)x函数。