数列一、数列的概念与简单表示法1.数列的相关概念定义:按照一定顺序排列的一列数叫数列.(例如:1,3,5,7,9…).项与项数:数列中每一个数叫做数列的项,排在第一位的叫做第一项(通常叫首项),以此类推,排在第n 位的叫做数列的第n 项. 表示:数列一般形式可以写成:123,,,,,,n a a a a 简记为{}n a .2.数列的分类按照数列中项数有限和无限分为:有穷数列,无穷数列. 按照数列的项的变化趋势分类:递增数列(1n n a a +>);递减数列(1n n a a +<);常数列(1n n a a +=);摆动数列(1n a +与n a 随着n 的变化大小关系不确定).例如:1,3,5,7,9…(无穷递增数列),10,7,4,1,-2,…,-14(有穷递减数列),2,2,2,2,…(常数列),1,-1,1,-1,1…(摆动数列). 3.数列与函数的关系数列可以看成以正整数*N (或它的有限子集{1,2,,}n )为定义域的函数()n a f n =,当自变量从小到大依次取值时,所对应的一列函数值. 4.数列的表示方法通项公式:如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.例如:1,3,5,7,9…可表示为21n a n =-,n ∈*N .注意:①不是所有的数列都能写出它的通项公式;②对于一个确定的数列,通项公式不一定唯一.直接列出:123,,,,,.n a a a a图像表示:在平面直角坐标系中,数列可以用一群孤立的点(,)n n a 表示.递推公式:给出数列的第一项(或前几项),再给出后面的项用前面的项来表示的式子,这种表示数列的方法叫递推公式法. 例如:数列{}n a 中,有11a =,111n n a a -=+,根据此递推公式,我们就可以依次写出数列中的每一项.5.n a 与n S 的关系数列前n 项和记为n S ,则1231n n n S a a a a a -=+++++,11231n n S a a a a --=++++,两式相减,得1n n n a S S -=-,由于n 只能取正整数,当1n =时1n S -不存在,不能使用上式,但当1n =时很明显有11a S =,故我们得到通项n a 与前n 项和n S 的关系:11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ .二、等差数列1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,通常用字母d 表示.递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥.例如:数列{}n a 满足12n n a a +=+,则数列{}n a 是公差为2的等差数列. 注:0d >时,为递增数列;0d <时,为递减数列;0d =时,为常数列. 2.等差中项若三个数a ,A ,b 成等差数列,则A 叫作a 与b 的等差中项. 此时2a b A +=3.等差数列的通项公式等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,则1(1)n a a n d =+-.4.等差数列的性质(1)等差数列{}n a 的第m 项为m a ,则()n m a a n m d =+-.★ 例如:8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=.(2)若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+,若2m n p +=,则2m n p a a a +=.★ 例如:1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=,12132n n n a a a a a a --+=+=+=.(3)下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,组成公差为md 的等差数列.例如:135721,,,,,,n a a a a a -组成公差为2d 的等差数列; 51015205,,,,,,n a a a a a 组成公差为5d 的等差数列.(4){}n a 是公差为d 的等差数列,则{}n ka b +也是等差数列,公差为kd .(5){}n a ,{}n b 都是等差数列,则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列.5.判断一个数列是等差数列的方法 (1)定义法:1n n a a d +-=(常数).(2)等差中项法:122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a .★ (3)通项公式法:=n a kn b +(公差为k ).(4)前n 项和公式法:2n S An Bn =+(不含常数项的二次函数).★三、等差数列的前n 项和1.等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到)★ 21()22n d dS n a n =+-(以n 为变量,体现二次函数) 2n S An Bn =+(简化写法,不含常数项的二次函数)2.和的有关性质等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,那么: (1){}n S n也成等差数列,其首项与{}n a 首项相同,公差是{}n a 公差的12.(2)等差数列{}n b ,前n 项和为n T(21(21)n n S n a -=-).★ (3)数列232,,,k k k k k S S S S S --是等差数列,公差为2k d .★(4)S 奇表示奇数项的和,S 偶表示偶数项的和,则有:①当项数为偶数2n 时,S S nd -=偶奇,1nn S a S a +=奇偶; ②当项数为奇数21n -时,n S S a -=奇偶,1S nS n =-奇偶.3.和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ,可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点,因此可以用二次函数的性质来研究和的性质,比如对称和求最值.四、等比数列1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q 表示(0q ≠).递推式表示为1n na q a +=或1(2)nn a q n a -=≥. 例如:数列{}n a 满足12n n a a +=,则数列{}n a 是公比为2的等比数列.特别注意:等比数列中任何一项都不为0,公比0q ≠,若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,除了0,0,0,这样的常数列之外,其余的也都是等比数列.注:10a >,1q >时,{}n a 是递增的等比数列;10a >,01q <<时,{}n a 是递减的等比数列; 10a <,01q <<时,{}n a 是递增的等比数列; 10a <,1q >时,{}n a 是递减的等比数列;1q =时,{}n a 是非零常数列; 0q <时,{}n a 是摆动数列.2.等比中项若三个数a ,G ,b 成等比数列,则G 叫作a 与b 的等比中项. 此时2G ab =例如:2和8的等比中项为4±. 注:①一个等比数列,从第2项起,每一项都是它的前后两项的等比中项,即212n n n a a a ++=,每一项都是前后距离相同两项的等比中项,即2n n m n m a a a -+=.②当三个数成等比数列时,当四个数成等比数列时,常设这3.等比数列的通项公式等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则11n n a a q -=.4.等比数列的性质(1)等比数列{}n a 的第m 项为m a ,则n mn m a a q -=.★例如:7652812310a a q a q a q a q -=====.(2)若m n p q +=+,则m n p q a a a a =,若2m n p +=,则2m n p a a a =.★例如:2192837465a a a a a a a a a ====,12132n n n a a a a a a --===.(3)下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,组成公比为mq 的等比数列.例如:135721,,,,,,n a a a a a -组成公比为2q 的等比数列; 51015205,,,,,,n a a a a a 组成公比为5q 的等比数列.(4){}n a 是公比为q 的等比数列,则{}n ka 也是等比数列,公比为q . (5){}n a ,{}n b 都是等比数列,则{}n ka ,{||}n a ,2{}n a ,1{}n a ,{}n n a b ,{}n na b 也是等比数列.5.判断一个数列是等比数列的方法 (1)定义法:1n na q a +=(常数).★ (2)等比中项法:212+=n n n a a a +或211-+=n n n a a a .★ (3)通项公式法:11=n n a a q-(公比为q ).(4)前n 项和公式法:(0,0)nn S Aq A A q =-≠≠.五、等比数列的前n 项和1.等比数列前n 项和公式注意:应用求和公式时,要先看q 是否等于1,必要时需讨论.2.和的有关性质等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,那么: (1)数列232,,,k k k k k S S S S S --是等比数列,公比为kq .★(2)m nm n m n n m S S q S S q S +=+=+.(3)S 奇表示奇数项的和,S 偶表示偶数项的和,则有:①当项数为偶数2n 时,S q S =偶奇;②当项数为奇数21n +时,1S a q S -=奇偶.六、求数列通项公式专题1.公式法等差数列通项公式: 1(1)n a a n d =+-,()n m a a n m d =+-. 等比数列通项公式:11n n a a q -=,n m n m a a q -=. 2.已知n S 与n a 的关系求通项已知n S 求n a 公式:11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.3.累加法适用形式:1()n n a a f n +=+.变为1()n n a a f n +-=,下标依次递减1写出等式,直至写到21(1)a a f -=,最后把1n -个等式相加即可得到结果.4.累乘法适用形式:1()n n a a f n +=.变为1()n na f n a +=,下标依次递减1写出等式,直至写到21(1)af a =,最后把1n -个等式相乘即可得到结果. 5.构造法(1)形如1n n a qa p +=+,用待定系数法构造等比数列.即令1()n n a x q a x ++=+,则1(1)n n a qa q x +=+-,与1n n a qa p +=+对比可知1px q =-,故数列{}1n p a q +-是公比为q 的等比数列.形如1()n n a qa f n +=+,用待定系数法构造等比数列,令1(1)()n n a A n B q a An B ++++=++,利用系数相等求出A 和B .(2)形如11n n n a pa qp ++=+,采用两边同除法构造等差数列.两边同除以1n p +得到11n n n n a a q p p ++=+,故数列{}nn a p 是公差为q 的等差数列.11n n nqa p a pa ++=,即1n n a a p +=+,故{}n a 是公差为q p的等差数列. (4)含有n a ,1n a +的二次三项式,通过因式分解转化为常见数列求解.(5)形如21n n n a pa qa ++=+,用待定系数法转化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++,化简对比求出λ,则1{}n n a a λ++是公比为p λ+的等比数列,再根据情况求出n a .(6)形如1rn n a pa +=,采用两边取对数法,变形为1lg lg lg n n a r a p +=+,再用待定系数法构造等比数列.(7)换元法:适用于含有根式的递推关系式,把根式整体代换为一个简单数列来表示.6.数学归纳法根据数列前几项的值猜想数列的通项公式,首先带入第一项验证成立,然后假设第k 项成立,最后证明第1k +项也成立,便可证明猜想的公式就是数列的通项公式.七、数列求和专题1.公式法等差数列求和公式: 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 等比数列求和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩.常用求和公式:1123(1)2n n n ++++=+ 22221123(1)(21)6n n n n ++++=++333321123[(1)]2n n n ++++=+2.分组求和法如果一个数列的通项可以写成n n n c a b =±的形式,而数列{}n a ,{}n b 是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列,可采用分组求和法.3.错位相减法{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时,采用错位相减法求解,在等式的两边同乘以{}n b 的公比,然后错位一项与{}n n a b ⋅的同次项对应相减,转化为特殊数列求和问题.需注意{}n b 共比为参数字母时,要对公比是否为1做讨论.它是等比数列前n 项和公式的推导方法.4.裂项相消法将数列每一项拆成两项或若干项,使得相加后有一些项可以相互抵消,从而求得其和.一般未被消去的项有前后对称的特点. 常见裂项方法: ①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k=-++③1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+ ④ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++1k= ⑥ 1log (1)log (1)log a a a n n n +=+-注:(1)裂项常见公式没有必要死记硬背,例如对1(5)n n +裂项,可直接把分式从中间截断,变为115n n -+,再通分求得1155(5)n n n n -=++,与原式比较分母变为5倍,则把裂项后的结果115n n -+前面乘以15就变为与原式相等的裂项,即1111()(5)55n n n n =-++. (2)分母为根式相加形式的裂项,本质就是对分母有理化,即=1k=.(3)对数形式的裂项,考察的是对数的基本计算,利用对数性质巧妙构造相消项,如11log (1)log ()log (1)log a a a a n n n n n++==+-.5.倒序相加法一个数列中,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,那么把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒序相加法.它是等差数列前n 项和公式的推导方法. 6.并项求和法一个数列的前n 项和中,若项与项之间能两两结合求解,则称为并项求和.形如(1)()n n a f n =-的数列,可用此法.7.含有绝对值的求和关键找到正负转折项进行分类讨论.数学浪子整理制作,侵权必究。