1.2.1 平面的基本性质学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.知识点一平面的概念思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？梳理(1)平面的概念广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.(2)平面的画法一般用水平放置的____________作为平面的直观图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用____画出来.(3)平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等.知识点二点、线、面之间的位置关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上C∉AB点M在平面AC上M∈平面AC点A1不在平面AC内A1∉平面AC直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC知识点三平面的基本性质思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？思考2 观察下图，你能得出什么结论？思考3 观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？梳理公理文字语言图形语言符号语言作用(推论)公理1 如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内⎭⎪⎬⎪⎫A∈αB∈α⇒(1)判定直线在平面内；(2)证明点在平面内公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是的一条直线⎭⎪⎬⎪⎫P∈αP∈β⇒____(1)判断两个平面是否相交；(2)判定点是否在直线上；(3)证明点共线问题公理3 经过，有且只有一个平面A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α(1)确定一个平面的依据.(2)证明平面重合；(3)证明点、线共面推论1经过一条直线和这条直线的一点，有且只有一个平面A∉l⇒A和l确定一个平面α推论2经过两条直线，有且只有一个平面a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α推论3经过两条直线，有且只有一个平面a∥b⇒a，b确定一个平面α类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.类型二点线共面例2 如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2 已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如图所示.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.类型三点共线、线共点问题命题角度1 点共线问题例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.反思与感悟证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.命题角度2 线共点问题例4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE、D1F，DA三线交于一点.反思与感悟证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练4 已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.3.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.5.如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：a，b，c，d 共面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.答案精析问题导学知识点一思考没有．水平放置的正方形的直观图梳理(2)正方形的直观图虚线知识点二思考点和直线，平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．知识点三思考1 前者不在，后者在．思考2 不共线的三点可以确定一个平面．思考3 不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理一个AB⊂α经过这个公共点α∩β＝l且P∈l不在同一条直线上的三点外相交平行题型探究例1 解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.跟踪训练1 解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.例2 证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理3的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．跟踪训练2 证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．例3 证明如图，连结A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线．跟踪训练3 证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．例4 证明如图，连结EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF 綊12A 1B . 又∵A 1B 綊D 1C ，∴EF 綊12D 1C ， ∴E ，F ，D 1，C 四点共面，∴D 1F 与CE 相交，设交点为P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ，∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理2，可得P ∈DA ，即CE 、D 1F 、DA 相交于一点．跟踪训练4 证明 如图，α∩β＝l 1，β∩γ＝l 2，α∩γ＝l 3.∵l 1⊂β，l 2⊂β，且l 1，l 2不平行，∴l 1与l 2必相交．设l 1∩l 2＝P ，则P ∈l 1⊂α，P ∈l 2⊂γ，∴P ∈α∩γ＝l 3，∴l 1，l 2，l 3相交于一点P .当堂训练1．A ∈l ，l ⊄α 2.无数3．①③④⑤ 4.1或35．证明因为A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点确定一个平面，设为α. 因为A∈a，B∈a，所以a⊂α，因为A∈b，C∈b，所以b⊂α，因为B∈c，C∈c，所以c⊂α，所以a，b，c都在α内．因为D∈c，E∈b，所以D∈α，E∈α.又因为D∈d，E∈d，所以d⊂α，所以a，b，c，d共面．。