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解下列各式联立的方程组：
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(2-29) (2-30) (2-31) (2-32) (2-33)
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可得该传动系统的等效系统，如图2-9所示。
(2-34) (2-35) (2-36)
图2-9 带非刚性轴的齿轮传动的简化图
B——工作台直线运动速度阻尼系数；
L——丝杠导程。
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解 根据传动比转换关系，折合到主动轴的等效传动系统如 图2-11（b）所示。并且进一步将Ⅱ、Ⅱ轴的等效转动惯量 合并到输出轴，从而得到简化系统如图2-11（c）所示。
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根据图2-10，可列写出如下方程：
经拉氏变换后，可得简化系统的传递函数为：
(2-41)
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因此，该齿轮传动系统的主谐振频率近似为
(2-42)
(2-10) (2-11) (2-12)
在方程(2-11)和(2-12)中，假设了转动元件具有零转动惯量。
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根据旋转机械元件的定义方程(2-10)~(2-12)， 利用绕旋转轴的转矩之和必须等于转动惯量与角 加速度乘积的原理，可以建立机械旋转系统的动 态模型。具体建模做法与质点平移系统完全类似， 只是将平移系统的质量m改为旋转系统的转动惯 量J，平移系统的线位移x、线速度及线加速度改 为旋转系统的角位移θ 、角速度及角加速度以及 平移系统的力f改为旋转系统的力矩M。
对于一个无功率消耗的传动系统，从动轴上的转 动惯量J、黏性阻尼系数B以及弹性系数K折合到主 动轴上，都必须乘以由主动轴到从动轴的传动比的 二次方n2，才能得到等效的转动惯量n2J、等效的 黏性阻尼系数n2B以及等效的弹性系数n2K。而从 动轴的转角θ 和作用在从动轴上的转矩M折合到主 动轴上，则必须分别除以和乘以传动比n。这样， 主动轴和等效的从动轴可以串接起来，作为单轴的 机械转动系统处理。
图2-2 单自由度质量-弹簧系统
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解 系统的微分方程可列写如下：
将式(2-5)代入(2-4)，移项合并后，可得 或者表示为
(2-4) (2-5) (2-6)
(2-7)
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图2-6 由旋转到直线运动的控制
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负载质量与转动惯量的等价转换：
（a）丝杠螺母副
（b）小齿轮齿条传动 （c）同步齿形带传动
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(2-18) (2-19)
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2.2 定轴旋转系统
线性转动系统与线性移动系统是类似的，列写线 性移动方程的方法同样可适用于线性转动系统。线性 转动系统的三个元件如图2-3所示。
图2-3 机械转动元件 (a)转动惯量；(b)阻尼；(c)弹簧
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转动惯量 黏性阻尼器 扭转弹簧
图2-4 步进电动机—同步齿形带驱动装置
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解 本系统有两个转动自由度θ i和θ o，因此，必 须列两个转矩平衡方程。 输入轴
(2-13)
输出轴
(2-14)
取拉氏变换，可得
(2-15)
(2-16) 根据方程(2-15)和方程(2-16)，可画出系统传递函数 方块图如图2-5(a)所示。
弹簧
(2-3)
方程(2-1)~(2-3)应用了图示箭头方向的力和位移。如 果其中任何一个方向相反，则方程中的那一项必须变号。
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在这些机械元件中，阻尼耗散能量但不能储存能量，而质量
和弹簧能储存能量但不消耗能量。当我们列写由这些机械元件 通过内部连结而形成系统的方程时，通常需要应用牛顿 定律，即作用于物体上的外力之和等于物体的质量与它 的加速度之乘积。
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拉氏变换后，可得 因此，系统的传递函数为
(2-8) (2-9)
式(2-9)表明，只有一个质点的单自由度平移系统是 一个二阶系统。实际上，系统中有一个具有独立位移的质 点应列写一个二阶微分方程，有n个质点应列写n个二阶微 分方程，因此，由n个质点组成的系统应是2n阶系统。
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(2-17)
方程(2-17)表明，采用同步齿形带传动，系统增加了 一个自由度，附加了传递函数
这是一个低通滤波器特性，对步进电动机的震动具有隔 离作用。
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2.3 机械传动装置
机械传动装置是许多伺服系统不可缺少的一个重要机
第2章 受控机械系统动态模型
本章讨论受控机械系统的动态模型。 受控机械可以有各种各样的结构形式。 如果抽象为力学模型，可以分别表示为
质点平移系统
定轴旋转系统
机械传动系统 定点旋转系统 多刚体系统
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2.1 质点平移系统
位移机械系统的基本元件是质量、阻尼及弹簧。这 些元件的符号如图2-1所示。
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2．4 定点旋转机械系统
在分析定点旋转机械系统时，所依据的动力学定理主要是欧 拉动力学方程。在动坐标系oxyz中，欧拉动力学方程可以表 示为
(2-46)
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下面，我们利用动量矩定理，集中研究三轴万 向框架系统的动态模型。图2-13(a)是三轴万向环 架几何结构示意图。
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传动系统向主动轴简化 解下列各式联立的方程组：
可得
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(2-21) (2-22) (2-23) (2-24) (2-25) (2-26)
(2-27)
图2-l 机械直线位移元件 (a) 质量；(b)阻尼；(c)弹簧
注意，图2-1只是机械元件的数学模型，它们不 一定是具体物理装置的精确表示。因此，在应用这些 定义时，必须是实际物理系统的合理抽象。
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质量 阻尼
(2-1) (2-2)
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Tianjin University of Tech控制系统应用中，往往最感兴趣的是关于传 动装置的主谐振频率。因此，将齿轮等效转动惯 量分别与主动轴和从动轴的飞轮惯量合并。从而， 图2-9的等效系统可以进一步简化为图2-10。
图2-10 齿轮传动系统的近似简化
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传动系统向从动轴简化 同理，可得
(2-28)
根据以上推算，可得结论如下：
由从动轴2向主动轴1折合，从动轴上的转动惯 量、阻尼系数都要乘以由轴1到轴2的传动比的二 次方，而转矩只乘以传动比的一次方。反之亦然。
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2．3．3 非刚性传动链
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将上列各式拉氏变换，整理后，可得： 由此可得系统传递函数如下：
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(2-37) (2-38) (2-39)
(2-40)
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综合以上讨论结果，可得结论如下：
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图2-5 例2-3驱动装置的传递函数方块图及其简化
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进一步，通过简化方块图2-5(a)为图2-5(b)，再为图 2-5(c)，或者联立求解方程(2-15)和方程(2-16)，可得
(2-20)
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2．3．2 速比折合
讨论齿轮传动系统。参考图2-7的一对齿轮的传动系 统，主动轮1与从动轮2的转角分别为θ 1和θ 2，转动惯 量分别为J1和J2，黏性阻尼系数分别为B1和B2，主动 轴上的驱动力矩为Mi，从动轴上的负载力矩为Mo。
图2-7 齿轮传动及其简化
(a)原传动系统；(b)向主动轴简化；(c)向从动轴简化
在建立由质点-弹簧-阻尼器组成的质点平移系统的动态 数学模型时，一般利用牛顿第二定律列写该系统的动力 学微分方程。具体方法是：
首先，系统中的每一个质点必须列写一个微分方程；
其次，每一个微分方程的左边为该质点的惯性力(即质量与加 速度的乘积)，右边等于与该质点相连结的弹簧力和阻尼力以及外作 用力之和；