2016年山东药品食品职业学院单招数学模拟试题（附答案解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a<b<0，则下列不等式一定成立的是()A．a2<ab<b2B．b2<ab<a2C．a2<b2<ab D．ab<b2<a2答案B2．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是()A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列解析记a1＝3，a2＝9，…，a n＝2187，…若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，a n＝3＋(n－1)×6＝2187，∴n＝365.∴{a n}可为等差数列．若{a n}为等比数列，则公比q＝＝3.a n＝3·3n－1＝2187＝37，∴n＝7.∴{a n}也可能为等比数列．答案B3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为()A．钝角B．直角C．锐角D．60°解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2.即a2＋b2－c2＝c2>0，cos C>0.答案C4．设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}的前7项和为()A．63 B．64C．127 D．128解析a5＝a1q4＝q4＝16，∴q＝2.∴S7＝＝128－1＝127.答案 C5．一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别为()A．8a，B．64a，C．128a，D．256a，答案C6．不等式y≤3x＋b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b的范围是()A．－8≤b≤－5 B．b≤－8或b>－5C．－8≤b<－5 D．b≤－8或b≥－5解析∵4>3×3＋b，且4≤3×4＋b，∴－8≤b<－5.答案C7．已知实数m，n满足不等式组则关于x的方程x2－(3m＋2n)x ＋6mn＝0的两根之和的最大值和最小值分别是()A．7，－4 B．8，－8C．4，－7 D．6，－6考单招——上高职单招网解析两根之和z＝3m＋2n，画出可行域，当m＝1，n＝2时，z max＝7；当m＝0，n＝－2时，z min＝－4.答案A8．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c成等差数列，则＋的值等于()A. B.C．2 D．1解析用特殊值法，令a＝b＝c.答案C9．制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是() A．4.6m B．4.8mC．5m D．5.2m解析设三角形两直角边长为a m，b m，则ab＝2，周长C＝a＋b＋≥2＋＝2＋2≈4.828(m)．答案C10．设{a n}是正数等差数列，{b n}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1, 则()A．a n＋1>b n＋1B．a n＋1≥b n＋1C．a n＋1<b n＋1D．a n＋1＝b n＋1解析a n＋1＝≥＝＝b n＋1.答案B11．下表给出一个“直角三角形数阵”：，，，……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij(i≥j，i，j∈N*)，则a83等于()A. B.C. D．1解析第1列为，＝，，…，所以第8行第1个数为，又每一行都成等比数列且公比为，所以a83＝××＝.答案C12．已知变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为()A．4 B．2C．1 D．－4解析先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．由图可知，当直线y＋2x＝0，经过点(1,0)时，z有最大值，此时z＝2×1＋0＝2.考单招——上高职单招网答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上)13.在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．解析∵B＝45°，C＝60°，∴A＝180°－B－C＝75°.∴最短边为b.由正弦定理，得b＝＝＝.答案14．锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是__________．解析∵△ABC为锐角三角形，∴∴∴A∈(，)．∴＝＝2cos A.∴∈(，)．答案(，)15．数列{a n}满足a1＝3，a n＋1－2a n＝0，数列{b n}的通项公式满足关系式a n·b n＝(－1)n(n∈N*)，则b n＝________.＝2a n，解析∵a1＝3，a n＋1∴数列{a n}为等比数列，且公比q＝2.∴a n＝3·2n－1.又a n·b n＝(－1)n.∴b n＝(－1)n·＝.答案16．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax的解集为________．解析由题意，得则所求不等式可化为x2＋1－(x－1)＋(－2)<2x，解得0<x<3.答案{x|0＜x＜3}三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知全集U＝R，A＝，B＝{x|3x2－4x＋1>0}，求∁(A∩B)．U解A＝{x|3x2－4x－4<0}＝，B＝.A∩B＝，∁U(A∩B)＝{x|x≤－，或≤x≤1，或x≥2}．18．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2－2cos2A＝7.(1)求角A的大小；(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．解(1)在△ABC中，有B＋C＝π－A，由条件可得4[1－cos(B＋C)]－4cos2A＋2＝7，即(2cos A－1)2＝0，∴cos A＝.又0<A<π，∴A＝.(2)由cos A＝，得＝，即(b＋c)2－a2＝3bc，则32－()2＝3bc，即bc＝2.考单招——上高职单招网由解得或19．(12分)递增等比数列{a n}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n·log12a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设等比数列的公比为q(q>1)，则有解得或(舍去)．所以a n＝2·2n－1＝2n.(2)b n＝a n·log12a n＝－n·2n，S n＝－(1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)，2S n＝－(1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1)．两式相减，得S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝－(n －1)·2n＋1－2.20．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A，B两种药至少各配一剂，问A、B两种药最多能各配几剂？解设A、B两种药分别能配x，y剂，x，y∈N*，则作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．所以，在保证A，B两种药至少各配一剂的条件下，A种药最多配4剂，B种药最多配3剂．21．(12分)在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cos C＝1－cos2C.(1)试确定△ABC的形状；(2)求的范围．解(1)由＝，得＝，即b2－a2＝ab，①又cos(A－B)＋cos C＝1－cos2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C.sin A·sin B＝sin2C，则ab＝c2. ②由①②知b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.所以△ABC为直角三角形．(2)在△ABC中，a＋c>b，即>1.又＝≤＝＝，故的取值范围为(1，]．22．(12分)设{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)试求所有的正整数m，使得为数列{a n}中的项．考单招——上高职单招网解(1)由题意，设等差数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d，(d≠0)．由a＋a＝a＋a，知2a1＋5d＝0.①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{a n}的通项公式a n＝2n－7，S n＝＝n2－6n.(2)因为＝＝a m＋2－6＋为数列{a n}中的项，故为整数，又由(1)知a m＋2为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.当m＝1时，＝＝－15.显然它不是数列{a n}中的项．当m＝2时，＝＝1.它是数列{a n}中的项．因此，符合题意的正整数只有m＝2.。