公式法（一）【目标导航】能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．【复习导入】把下列各式分解因式：1．－4m3＋16m2－26m；2．(x－3)2＋(3x－9)；3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1；4（2011福建福州）分解因式：225x-=. 5．y2－25【合作探究】1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点：2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：【合作探究】练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？(1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2；(5) 14a2b2－1；(6) x4－y4.例1 把下列多项式分解因式(1) 4x2－9；(2) (x＋p)2－(x＋q)2；(3) 16－125m2；(4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．例2 把下列多项式分解因式(1) x4－y4；(2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－9x= ．(3)－14xy3＋0.09xy；(4)a2－b2＋a－b；(5)(p－4)(p＋1)＋3p.练习：把下列多项式分解因式(1) a2－125b2；(2) 9a2－4b2；(3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）(A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4）(C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2）(4)－a4＋16；(5) m4(m－2)＋4(2－m)例3 在实数范围内分解因式(1) x2－2；(2) 5x2－3.例4(1) 计算：9972－9(2)设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．(3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，你能求出x、y的值吗？【课堂操练】1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b).2．分解因式:4x2－9y2= ；3x2－27y2= ；a2b－b3= ；2x4－2y4= .3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（）A. x2＋y2B. x2＋y4C. x2－y4D. x2－2x4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，这个多项式是（）A. 4a2－b2B.4a2＋b2C. －4a2－b2D. －4a2＋b25．分解因式：(1)9a2－14b2；(2)2x3－8x；(3)(m＋a)2－(n－b)2.【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2(2) p4－16(3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2(4)22 ()() 44a b a b +--(5) 36a4x10－49b6y8(6) b2－(a－b＋c)2(7) (3x＋y－1)2－(3x－y＋1)2(8) 4(x＋y＋z)2－(x－y－z)2(9) (21135)2－(8635)2(10) 9×1.22－16×1.42(11) －12a2m＋1b m＋2＋20a m＋1b2m＋4(12) (x－2y)(2x＋3y)－2(2y－x)(5x－y)(13) －4a2＋(2x－3y)2(14) 2(x＋1)(x＋2)－x(x＋6)－8(15) （2011山东临沂）分解因式：9a－ab2＝．(16) (a－b)2－(b－a)4(17) (2x－1)3－8x＋4(18) 4x2－9y2－(2x＋3y)(19) －(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3(20) （2011广西梧州）因式分解x2y－4y的正确结果是（）A．y（x＋2）（x－2）B．y（x＋4）（x－4）C．y（x2－4）D．y（x－2）2(21) a4－81b4(22) a3(a－b)2－a(a＋b)2(23) (x2－y2)＋(x－y)(24) (a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)(25) a n＋1－a n－1b4（26）（2011山东枣庄）若622=-nm，且2m n-=，则=+nm．2.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数．3.设n是任一正整数，代入代数式n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果只可能是（）A.388947B.388944C.388953D.3889494.已知：m2=n＋2，n2=m＋2(m≠n)求：m3－2mn＋n3的值．公式法（一）参考答案【复习导入】把下列各式分解因式：1．解：原式=－2m(m²－8m+13)2．解：原式=(x－3)2＋3(x－3)=（x－3）(x－6)3．解：原式=－mn(x－y)n(m－nx＋ny)4.答案:(x＋5)(x－5) .5．解：原式==(y+5)(y－5)【合作探究】1式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。
2．（a2－b2）=(a+b)(a－b)【合作探究】练习：解：（2）、（3）、（5）、（6）都能运用平方差公式进行因式分解。
因为式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。
例1 把下列多项式分解因式(1)解：原式==(2x+3)(2x－3)(2)解：原式=[(x＋p)＋(x＋q)][ (x＋p)－(x＋q)]= (2x＋p＋q) (p－q)(3)解：原式=(4＋15m)( 4－15m)(4) 解：原式=16(x－1)2－(x＋2)2=(4x－4)2－(x＋2)2=[(4x－4)＋(x＋2)][ (4x－4)－(x＋2)]=(5x-2)(3x-6)=3(5x-2)( x－2)例2 把下列多项式分解因式(1)解：原式=( x2+y2) ( x2－y2)=( x2+y2) ( x+y) ( x－y)(2)答案:x ( x－3 )( x+3 )(3)解：原式=－xy(14y2－0.09)= －xy(12y+0.3)(12y－0.3)(4)a2－b2＋a－b；解：原式=( a－b) ( a＋b)＋(a－b)=(a－b)(a＋b＋1)(5)解：原式=p2－4p+p－4＋3p= p2－4=(p＋2)(p－2)练习：把下列多项式分解因式(1) 解：原式=(a＋15b) (a－15b)(2) 解：原式=(3a＋2b) (3a－2b)(3) 答案:C60(4)解：原式=16－a =(4+a 2) ( 4－a 2)=(4+a 2) (2+y ) ( 2－y )(5)解：原式= m 4(m －2)－4(m －2)=(m －2)(m 4－4)=(m －2)(m 2＋2))(m 2－2) 例3 在实数范围内分解因式 (1) 解：原式= x 2－(2)2 =(x ＋2)(x －2)(2)解：原式=(5x )2－( 3 )2=(5x ＋ 3 ) (5x － 3 )例4(1)解：原式=(977+3)(977－3) =974000（2）解：原式=(2n ＋1)2－52 =(2n ＋1)2－52=(2n ＋1＋5)(2n ＋1－5) =(2n ＋6)(2n －4)=4（n ＋3）(n －2),即能被4整除。
(3) 解：等式左边因式分解得（2x －3y ）(2x ＋3y ) 右边31是一个质数，可分解为1×31 所以2x －3y =1且2x ＋3y =31，解得x =8,y =5.【课堂操练】1．答案：b 22．答案：(2x ＋3y )( 2x －3y )、3（x ＋3y )( x －3y )、b (a ＋b )( a －b )、2 ( x 2+y ) ( x +y ) ( x －y ). 3．答案：C4．答案：D 5．分解因式：(1)解：原式=(3a ＋12b )( 4－12b )(2)解：原式=2x (x 2－4)=2x (x ＋2)(x －2)(3)解：原式=[(m ＋a )＋(n －b )][ (m ＋a )－(n －b )] =(m ＋a ＋n －b ) (m ＋a －n ＋b )【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 解：原式= (3m ＋3n )2－(m －n )2=[ (3m ＋3n )+ (m －n )][ (3m ＋3n )－(m －n )] =(4m +2n )(2m －4n ) =4(2m +n )(m －2n )(2)解：原式=( p +4) ( p －4)=( p 2+4) ( p +2) ( p －2)(3) 解：原式=(2x ＋3y )2－(x ＋2y )2=[(2x ＋3y )＋(x ＋2y )][ (2x ＋3y )－(x ＋2y )] =(3x +5y )(x +y )(4) 解：原式=14[(a +b )2－(a －b )2]=14[(a +b )＋(a －b )] [(a +b )－(a －b )] =ab(5) 解：原式= (6a 2x 5＋7b 3y ) (6a 2x 5－7b 3y ) (6)解：原式=[b ＋(a －b ＋c )][ b －(a －b ＋c )] =(a +c )(2b －a －c ) (7)解：原式=[ (3x ＋y －1)＋(3x －y ＋1)][ (3x ＋y －1)－(3x －y ＋1)] =12x (y －1)(8) 解：原式=[(2x ＋2y ＋2z )＋(x －y －z )][ (2x ＋2y ＋2z )－(x －y －z )]=(3x +y +z )(x +3y +3x ＋3z )(9) 解：原式=(21135＋8635)(21135－8635) =5360(10) 解：原式=3.62－5.62=(3.6+5.6)(3.6－5.6) =－18.4(11)解：原式=4a m +1b m +2(5b m +2－3a m )(12) 解：原式=(x －2y )[( 2x ＋3y )＋(10x －2y )]=(x －2y ) ( 12x ＋y )(13)解：原式=(2x －3y )2－4a 2 =（2x －3y +2a ）（2x －3y －2a ） (14) 解：原式=2(x 2＋3x ＋2)－x 2－6 x －8=x 2－4=(x +2)(x －2)(15) 答案:a （3＋b （3－b ）(16) 解：原式= (a －b )2－(a －b )4 =(a －b )2[1－(a －b )2]=(a －b )（1＋a －b ）（1－a ＋b ） (17)解：原式= (2x －1)3－4(2x －1)=(2x －1)[ (2x －1)2－4] =(2x －1) (2x ＋1) (2x －3)(18) 解：原式=(2x ＋3y ) (2x －3y )－(2x ＋3y ) =(2x ＋3y ) (2x －3y －1)(19) 解：原式=( x －y )3－(x 2－y 2)(x ＋y ) =( x －y )3－ (x ＋y ) 2 (x －y ) = (x －y )[ ( x －y )2－ (x ＋y ) 2] =－4xy (x －y ) (20) 答案：A(21) 解：原式=(a 2+9b 2) (a 2－9b 2)=( a 2+9b 2) (a +3b ) ( a －3b )(22) 解：原式=a [(a 2－ab )2－(a ＋b )2]=a (a 2－ab ＋a ＋b )( a 2－ab －a －b )(23) 解：原式=(x ＋y ) (x －y )＋(x －y ) =(x －y ) (x ＋y ＋1)(24) 解：原式=(a －b )[ (3a ＋b )2－(a ＋3b )2] ==8(a ＋b ) (a －b )2(25) 解：原式= a n －1(a 2－b 4)= a n －1(a ＋b 2) (a －b 2) （26）答案：32. 解：设两个连续奇数为2n -1,2n +1,n 为正整数。