抛物线练习题
抛物线练习题
一、选择题
1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设1
2
,F F 分别为双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得()
2
21
2
3,
PF
PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （）
215
417
【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值.
【解析】选 D.由双曲线的定义知，()
2
21
2
4,
PF PF a -=又
()2
2
1
2
3,PF PF b ab -=-
所以2
243a
b ab
=-
等号两边同除2
a ，化简得2
340b b a a ⎛⎫
-•-= ⎪⎝⎭
，解得4,b a =或1b
a
=-（舍去） 故离心率
2
22222
117.c c a b b e a a a a +⎛⎫
====+= ⎪⎝⎭
2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线
)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线
,
102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.
120
52
2=-y x B.
15
202
2=-y x C.
1100
32532
2=-y x D.
125
310032
2=-y x
【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以
0210,
c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有
2,b a
=结合2
2
2
,
c
a b =+得2
2
5,20,
a
b ==所以双曲线的标准方程为
120
52
2=-y x
3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123
F PF π
∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.
433 B.23
3
C.3
D.2 【解题提示】 椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值 【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，
12||a a PF -=，
因为
123F PF π
∠=
，由余弦定理得
22211114()()2()()cos
3c a a a a a a a a π
=++--+-，
所以2
1
2
2
34a a c +=，即2
122122221)(2124c a c a c a c a c a +≥+=-，
所以21
214
8)11(e e e -≤+，
利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
43
.
4.(2014·广东高考理科)若实数k 满足0<k<9,则曲线
225
x -
29y k
-=1与曲线
225x k
--29
y =1的 ( )
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
【解题提示】先判断两曲线是哪种圆锥曲线,进而求a ,b ,c ,e 加以判断. 【解析】选A.因为0<k<9, 所以曲线225
x -29y k
-=1与曲线
225x k
--29
y =1都表示焦点在x 轴上
的双曲线,且25≠25-k ,9-k ≠9,但a 2
+b 2
=34-k ,故两双曲线的焦距相等.
10. （2014·山东高考理科·Ｔ10）
已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，1C 与2C 的离心
率之积为
3
，则2C 的渐近线方程为（ ） A 、20x y ±= B 、20x y ±= C 、20x y ±= D 、20x y ±=
【解题指南】 本题考查了考查了椭圆、双曲线的几何性质，利用椭圆，双曲线中a,b,c 之间的关系即可求解.
【解析】选 A.椭圆的离心率为2222221
a b a a c e -==，双曲线的离心率为2
22222
2a
b a a
c e +==，所以()
4
34
442
21=+=a b a e e ，所以444b a =. 所以
22±=a b .双曲线的渐近线方程为x y 2
2
±=，即02=±y x ，故选A.
5.(2014·江西高考文科·T9)过双曲线C :-=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为 ( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
【解题指南】设右焦点为F ,|OF|=|AF|=4.
【解析】选A.设右焦点为F ,由题意得|OF|=|AF|=4,即a 2+b 2=16, 又A (a ,b ),F (4,0)可得(a-4)2+b 2=16, 故a=2,b 2=12,所以方程为-=1.
填空题
1. （2014·四川高考文科·Ｔ11）双曲线2
214
x y -=的离心
率等于____________.
【解题提示】本题主要考查双曲线的离心率，属于基本题．
【解析】415
22
c e a
+===.
5
2. （2014·浙江高考文科·Ｔ17）与（2014·浙江高考理科·Ｔ16）相同
（2014·浙江高考文科·Ｔ17）设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 、B ，若
点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是
______________.
【解题指南】求出,A B 的坐标，写出AB 中点Q 的坐标，因为PB PA =，所以PQ 与已知直线垂直，寻找a 与c 的关系.
【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为
b y x a
=
与b y x
a
=-，分别与)0(03≠=+-m m y x 联立方程组，解得
,33am bm A a b a b --⎛⎫
⎪--⎝
⎭，
,33am bm B a b a b -⎛⎫ ⎪++⎝
⎭，设AB 的
中点为Q ，则
3333,22am am bm bm a b a b a b a b Q ---⎛⎫++ ⎪
-+-+ ⎪
⎪
⎝⎭
，因为PB PA =，所
以PQ 与已知直线垂直，所以3
PQ
k =-，解得2
222288()
a
b c a ==-，
即
225
4
c a =，
5
2
c a = 答案：
5
2
3. （2014·浙江高考理科·Ｔ16）设直线)
0(03≠=+-m m y x 与双曲线
12
2
22=-b y a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若
点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________
【解题指南】求出,A B 的坐标，写出AB 中点Q 的坐标，因为PB PA =，所以PQ 与已知直线垂直，寻找a 与c 的关系.
【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为
b y x a
=
与b y x
a
=-，分别与)0(03≠=+-m m y x 联立方程组，解得
,33am bm A a b a b --⎛⎫ ⎪--⎝⎭
，
,33am bm B a b a b -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，设AB 的
中点为Q ，则3333,22am am bm bm a b a b a b a b Q ---⎛⎫++ ⎪
-+-+ ⎪
⎪
⎝⎭
，因为PB PA =，所
以PQ 与已知直线垂直，所以3
PQ k =-，解得2222288()
a b c a ==-，
即
2254
c a =，
5
2
c a = 5。