2020年中考数学压轴题精选解析中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为等腰三角形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。

利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

（2）AB 为腰时，分两类讨论：①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。

②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。

利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为直角三角形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。

利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。

所需知识点：一、 两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-=。

二、 圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。

则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()222R b y a x =-+-。

∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

三、中点公式：四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。

五、 任意两点的斜率公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2121x x y y k PQ --=。

中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论：（1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时二、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等三、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直四、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为正方形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直在四边形ABPQ 为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等五、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为梯形，求点P 坐标。

分三大类进行讨论：（1）AB 为底时 （2）AB 为腰时 （3）AB 为对角线时典型例题：典型例题：例一（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.（2009年烟台市）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过AB E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由； （4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．（2009•临沂）如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，-2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意． yxOEDCBAGAB CD O xyOBxyA MC1 3- （第26题图）如果21==COAOPMAM，那么214)4)(1(21=----xxx．解得2=x．此时点P的坐标为（2，1）．②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，)4)(1(21--=xxPM，4-=xAM．解方程24)4)(1(21=---xxx，得5=x．此时点P的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---xxx，得2=x不合题意．③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，)4)(1(21--=xxPM，xAM-=4．解方程24)4)(1(21=---xxx，得3-=x．此时点P的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xxx，得0=x．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为221-=xy．设点D的横坐标为m)41(<<m，那么点D的坐标为)22521,(2-+-mmm，点E的坐标为)221,(-mm．所以)221()22521(2---+-=mmmDE mm2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆mmSDACmm42+-=4)2(2+--=m．当2=m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．图5 图6如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB=时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n=-+，代入点C(0，－3)，得4n=-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x=--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x=--=+-，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为y kx b=+，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.k bb+=⎧⎨=-⎩解得1k=，3b=-．所以直线BC的函数表达式为3y x=-．（3）①因为AB＝4，所以334PQ AB==．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为12-．于是得到点P的坐标为17,24⎛⎫--⎪⎝⎭，点F的坐标为70,4⎛⎫-⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF=-=-=，522EC FC==．进而得到51322OE OC EC=-=-=，点E的坐标为10,2⎛⎫-⎪⎝⎭．直线BC:3y x=-与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．过点D作DH⊥y轴，垂足为H．在Rt△EDH中，DH＝1，13222EH OH OE=-=-=，所以tan∠CED23DHEH==．②1(12,2)P--，265 (1,)22P--．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．②如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．．∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3．（2）存在．△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：①以点A为直角顶点．如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，-1）．设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，-1）的坐标代入得：解得k=1，b=-1，∴y=x-1．将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得，x2+2x-3=x-1，整理得：x2+x-2=0，解得x=-2或x=1，当x=-2时，y=x-1=-3，∴P（-2，-3）；②以点P为直角顶点．此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合．∴P（-3，0）；③以点E为直角顶点．此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上，即P（-3，0）；综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（-2，-3）或（-3，0）．（2010•宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△A O C放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接A P，当△A PE 的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△A G C的面积与（2）中△A PE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），∴c=6．（1分）∵抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0），（2012•从化市一模）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）如图（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．（1）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4 ∴D（1，4）204．（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D (0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6． （1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA ＋PD 最小，求出点P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）设二次函数的解析式为：y=a （x-h ）2+k（2）∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD≥DB∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x 轴交于点M∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∵∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BD O207．（四川省内江市）如图所示，已知点A (－1，0)，B (3，0)，C (0，t )，且t ＞0，tan ∠BAC ＝3，抛物线经过A 、B 、C 三点，点P (2，m )是抛物线与直线l ：y ＝k (x ＋1)的一个交点． （1）求抛物线的解析式；（2）对于动点Q (1，n )，求PQ ＋QB 的最小值；（3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动，求△AMP 的边AP 上的高h 的最大值．CD O BAyx（3）过点P 作PN⊥x轴于点N ，过点M 作MK⊥x 轴于点K ，设点M的坐标为（x ，-x 2+2x+3），（广东省深圳市）已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA ＜OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）． （1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式． （2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP 交BC 于点E ．①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标． ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．（1）（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P 的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分．）A B xy O P D图3C1.（2008年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bac a b 44,22）满分解答：1. 解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F 所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(3124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9 （3）相似. 如图，BD=2222112BG DG +=+= BE=22223332BO OE +=+=22222425DF EF +=+=所以22BD BE +=所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且22AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆:. .(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线223(0)y ax x c a =+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．17. 解：（1）Q 直线33y x =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(03)C ， ············································································································ 1分 Q 点A C ，都在抛物线上，2303a c c ⎧=+⎪∴⎨⎪=⎩ 33a c ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为23233y x x =-······································································· 3分 ∴顶点431F ⎛- ⎝⎭， ·················································································································· 4分 （2）存在 ····································································································································· 5分 1(03)P ·································································································································· 7分 2(23)P ·································································································································· 9分 （3）存在 ··································································································································· 10分 理由：解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点．A O xyBFCyxD EABFOG······································································································· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．B Q 点在抛物线23233y x x =--上，(30)B ∴， 在Rt BOC △中，3tan 3OBC ∠=， 30OBC ∴∠=o ，23BC =，在Rt BB H '△中，1232B H BB ''==， 36BH B H '==，3OH ∴=，(323)B '∴--， ···························································· 12分 设直线B F '的解析式为y kx b =+233433k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨-=+⎪⎩ 解得3332k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩333y x ∴=- ············································ 13分3333362y x y x ⎧=--⎪∴⎨=-⎪⎩ 解得371037x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，31037M ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时31037M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ·········· 14分解法二：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求． ································································································· 11分 过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOC FGH ∴∠=∠=o ，BCO FHG ∠=∠HFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B ，．在Rt BOC △中，3tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=o，可求得33GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC 的对称点．5303H ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭， ·························································· 12分设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03533k b b =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得539533k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩553393y ∴=- ························································· 13分 55339333y x y x ⎧=-⎪∴⎨⎪=--⎩ 解得371037x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 31037M ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时310377M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ·························································································· 1 ∴在直19.(2008年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积． （3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？19. 解：（1）在2334y x =-+中，令0y = 23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-A O xyBFCHB M AO xy BF C H M G(20)A ∴-，，(20)B ，····························································· 1分 又Q 点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+ 32b = BC ∴的解析式为3342y x =-+ ······························································································· 2分 （2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 2220x y =⎧⎨=⎩ ·································································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ， 4AB ∴=，94CD =·················································································································· 5分 1994242ABC S ∴=⨯⨯=△············································································································ 6分 （3）过点N 作NP MB ⊥于点PEO MB ⊥QNP EO ∴∥BNP BEO ∴△∽△ ··················································································································· 7分 BN NP BE EO ∴= ······························································································································· 8分 由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE = 25322t NP ∴=，65NP t ∴= ········································································································· 9分 16(4)25S t t ∴=-g g 2312(04)55S t t t =-+<< ······································································································ 10分 2312(2)55S t =--+ ················································································································ 11分 Q 此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大 ∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125． （2010•内江）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m （m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A 、B 两点的坐标；（2）经探究可知，△BCM 与△ABC 的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使△BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由 满分解答：（1）∴A 、B 两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．（4分）（3）存在使△BCM 为直角三角形的抛物线； 《3题图》 过点C 作CN ⊥DM 于点N ，则△CMN 为Rt △，CN=OD=1，DN=OC=3m ， ∴MN=DM-DN=m ．∴CM 2=CN 2+MN 2=1+m 2；在Rt △OBC 中，BC 2=OB 2+OC 2=9+9m 2，在Rt △BDM 中，BM 2=BD 2+DM 2=4+16m 2；①如果△BCM 是Rt △，且∠BMC=90°，那么CM 2+BM 2=BC 2，即1+m 2+4+16m 2=9+9m 2，②如果△BCM 是Rt △，且∠BCM=90°，那么BC 2+CM 2=BM 2，即9+9m 2+1+m 2=4+16m 2，解得m=±1，∵m ＞0，∴m=1；∴存在抛物线y=x 2-2x-3，使得△BCM 是Rt △；③如果△BCM 是Rt △，且∠CBM=90°，那么BC 2+BM 2=CM 2，。